Questão 168 do ENEM 2016 — Matemática

Organizando os dados a partir do enunciado

O enunciado descreve duas circunferências tangentes entre si e uma reta $t$ tangente a ambas nos pontos $P$ e $Q$. Vamos deduzir as coordenadas dos centros usando as próprias condições dadas no texto, e não uma leitura direta da figura.

• A circunferência $C_1$ tem raio $R_1 = 3$ e seu centro $O_1$ está sobre o eixo $x$. Como ela tangencia o eixo $y$, a distância do centro ao eixo $y$ é igual ao raio. Logo, $O_1 = (3, 0)$.
• A circunferência $C_2$ tem raio $R_2 = 1$, com centro $O_2$ também sobre o eixo $x$, e é tangente externamente a $C_1$. Em circunferências tangentes externamente, a distância entre os centros é a soma dos raios: $3 + 1 = 4$. Como $O_1$ está em $x = 3$, temos $O_2 = (3 + 4, 0) = (7, 0)$.

Encontrando onde a reta cruza o eixo x

Seja $R = (x_R, 0)$ o ponto em que a reta $t$ intercepta o eixo $x$.

O raio de uma circunferência é sempre perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Assim, os ângulos $\angle O_1PR$ e $\angle O_2QR$ são retos. Formam-se então dois triângulos retângulos, $\triangle RPO_1$ e $\triangle RQO_2$, que compartilham o ângulo no vértice $R$. Tendo dois ângulos iguais, eles são semelhantes.

A razão de semelhança é a razão entre os raios (os catetos perpendiculares à reta): $\frac{RO_1}{RO_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{1} = 3$

Escrevendo as distâncias em função de $x_R$ (com $R$ à direita de ambos os centros):

• $RO_1 = x_R - 3$
• $RO_2 = x_R - 7$

Substituindo: $\frac{x_R - 3}{x_R - 7} = 3$ $x_R - 3 = 3(x_R - 7)$ $x_R - 3 = 3x_R - 21$ $18 = 2x_R \implies x_R = 9$

Portanto, $R = (9, 0)$.

Determinando a inclinação da reta

No triângulo retângulo menor $\triangle RQO_2$, chame de $\alpha$ o ângulo no vértice $R$. O seno de $\alpha$ é a razão entre o cateto oposto ($O_2Q$, o raio) e a hipotenusa ($RO_2$): $\sin(\alpha) = \frac{O_2Q}{RO_2} = \frac{1}{9 - 7} = \frac{1}{2}$

O ângulo cujo seno vale $\frac{1}{2}$ é $\alpha = 30^\circ$. Como a reta é decrescente, o ângulo que ela forma com o sentido positivo do eixo $x$ é $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$, e o coeficiente angular é: $m = \tan(150^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Montando a equação da reta

Com o ponto $R(9, 0)$ e o coeficiente angular $m = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, usamos $y - y_0 = m(x - x_0)$: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 9)$ $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{9\sqrt{3}}{3}$ $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3\sqrt{3}$

Essa é a equação da reta $t$, correspondente à alternativa B.