Questão 142 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a função que descreve a temperatura da estufa ao longo do tempo:

$T(x) = 20 - 10\text{sen}\left( \pi \cdot \frac{x}{4} \right)$

O problema nos pede para descobrir quantas vezes a temperatura atingiu o seu valor mínimo no intervalo de tempo de $0 \le x \le 24$ horas.

Analisando o valor mínimo da função

Observe que a função $T(x)$ é composta por uma constante ($20$) subtraída por um termo que envolve a função seno ($10\text{sen}\left( \frac{\pi x}{4} \right)$).

Para que a temperatura $T(x)$ seja a menor possível, o valor que estamos subtraindo de $20$ deve ser o maior possível. Ou seja, precisamos que a função seno atinja o seu valor máximo.

Sabemos da trigonometria que o valor máximo que a função seno pode assumir é $1$. Portanto, a temperatura será mínima quando:

$\text{sen}\left( \frac{\pi x}{4} \right) = 1$

Encontrando os instantes de tempo ($x$)

A função seno resulta em $1$ quando o ângulo é igual a $\frac{\pi}{2}$ (ou $90^\circ$), e isso se repete a cada volta completa no ciclo trigonométrico, ou seja, a cada $2\pi$. Podemos escrever isso matematicamente como:

$\frac{\pi x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

onde $k$ é um número inteiro ($k = 0, 1, 2, 3, \dots$) que representa o número de voltas no ciclo.

Vamos isolar o $x$ nessa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por $\pi$:

$\frac{x}{4} = \frac{1}{2} + 2k$

Agora, multiplicamos toda a equação por $4$ para isolar o $x$:

$x = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} + 2k \right)$ $x = 2 + 8k$

Verificando o intervalo de tempo

O experimento durou $24$ horas, então precisamos encontrar todos os valores de $x$ que estão no intervalo $0 \le x \le 24$. Vamos testar os valores inteiros para $k$:

• Para $k = 0$: $x = 2 + 8(0) = 2 \text{ horas}$
• Para $k = 1$: $x = 2 + 8(1) = 10 \text{ horas}$
• Para $k = 2$: $x = 2 + 8(2) = 18 \text{ horas}$
• Para $k = 3$: $x = 2 + 8(3) = 26 \text{ horas}$

O valor $x = 26$ já ultrapassa o limite de $24$ horas do experimento, então não o consideramos.

Assim, a temperatura atingiu o seu valor mínimo nos instantes $x = 2$, $x = 10$ e $x = 18$. Contando esses instantes, vemos que a temperatura mínima foi atingida exatamente 3 vezes.