Questão 177 do ENEM 2024 — Matemática

Para descobrir a escala da planta baixa, precisamos lembrar que a escala é uma razão entre as medidas lineares do desenho e as medidas reais correspondentes. Se chamarmos a escala de $1 : k$, isso significa que cada unidade de comprimento no desenho equivale a $k$ unidades na realidade.

As dimensões do quarto no desenho são $0,10 \text{ m}$ e $0,15 \text{ m}$. Usando o fator de escala $k$, podemos representar as dimensões reais do quarto como:

• Largura real: $0,10 \cdot k$
• Comprimento real: $0,15 \cdot k$

O enunciado nos diz que a área real do quarto é de $24 \text{ m}^2$. Como a área de um retângulo é calculada multiplicando suas dimensões, podemos montar a seguinte equação: $(0,10 \cdot k) \cdot (0,15 \cdot k) = 24$

Multiplicando os valores, temos: $0,015 \cdot k^2 = 24$

Agora, isolamos $k^2$: $k^2 = \frac{24}{0,015}$

Para facilitar a divisão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $1\,000$, eliminando as casas decimais: $k^2 = \frac{24\,000}{15}$

Realizando a divisão: $k^2 = 1\,600$

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (considerando apenas o valor positivo, pois se trata de uma medida de comprimento): $k = \sqrt{1\,600} = 40$

Portanto, a escala utilizada na planta é de $1 : 40$.

Uma forma alternativa de pensar

Também podemos resolver a questão lembrando de uma propriedade importante: a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança (a escala linear).

Primeiro, calculamos a área do quarto no desenho: $A_{\text{desenho}} = 0,10 \text{ m} \cdot 0,15 \text{ m} = 0,015 \text{ m}^2$

A razão entre a área do desenho e a área real é: $\frac{A_{\text{desenho}}}{A_{\text{real}}} = \frac{0,015}{24} = \frac{15}{24\,000} = \frac{1}{1\,600}$

Como essa razão equivale ao quadrado da escala linear ($E^2$), temos: $E^2 = \frac{1}{1\,600} \implies E = \sqrt{\frac{1}{1\,600}} = \frac{1}{40}$

Chegamos novamente à escala de $1 : 40$.