Questão 172 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a pontuação total de cada um dos cinco alunos concorrentes (Ana, Bia, Caio, Dani e Edu) utilizando o Método de Borda e, em seguida, identificar quem obteve a maior soma.

Entendendo o Sistema de Pontuação

O enunciado nos diz que a pontuação é distribuída de forma crescente, do último para o primeiro colocado. Como temos $5$ concorrentes, a distribuição de pontos por juiz fica assim:

• 1º lugar: $5$ pontos
• 2º lugar: $4$ pontos
• 3º lugar: $3$ pontos
• 4º lugar: $2$ pontos
• 5º lugar: $1$ ponto

Além disso, os votos dos juízes foram agrupados em quatro rankings diferentes (I, II, III e IV). A tabela de frequência nos mostra quantos juízes votaram em cada ranking:

• Ranking I: $4$ juízes
• Ranking II: $9$ juízes
• Ranking III: $7$ juízes
• Ranking IV: $5$ juízes

Isso significa que a pontuação que um candidato recebe em um determinado ranking deve ser multiplicada pela quantidade de juízes daquele ranking. É como se estivéssemos calculando uma soma ponderada, onde a frequência é o "peso" dos pontos.

Calculando a Pontuação de Cada Candidato

Vamos analisar o desempenho de cada aluno, multiplicando os pontos da sua colocação pela frequência do ranking correspondente.

Pontuação da Ana:

• Ranking I ($4$ juízes): 1º lugar ($5$ pontos) $\rightarrow 5 \times 4 = 20$
• Ranking II ($9$ juízes): 4º lugar ($2$ pontos) $\rightarrow 2 \times 9 = 18$
• Ranking III ($7$ juízes): 2º lugar ($4$ pontos) $\rightarrow 4 \times 7 = 28$
• Ranking IV ($5$ juízes): 2º lugar ($4$ pontos) $\rightarrow 4 \times 5 = 20$
• Total da Ana: $20 + 18 + 28 + 20 = 86$ pontos

Pontuação da Bia:

• Ranking I ($4$ juízes): 2º lugar ($4$ pontos) $\rightarrow 4 \times 4 = 16$
• Ranking II ($9$ juízes): 5º lugar ($1$ ponto) $\rightarrow 1 \times 9 = 9$
• Ranking III ($7$ juízes): 1º lugar ($5$ pontos) $\rightarrow 5 \times 7 = 35$
• Ranking IV ($5$ juízes): 4º lugar ($2$ pontos) $\rightarrow 2 \times 5 = 10$
• Total da Bia: $16 + 9 + 35 + 10 = 70$ pontos

Pontuação do Caio:

• Ranking I ($4$ juízes): 3º lugar ($3$ pontos) $\rightarrow 3 \times 4 = 12$
• Ranking II ($9$ juízes): 2º lugar ($4$ pontos) $\rightarrow 4 \times 9 = 36$
• Ranking III ($7$ juízes): 3º lugar ($3$ pontos) $\rightarrow 3 \times 7 = 21$
• Ranking IV ($5$ juízes): 5º lugar ($1$ ponto) $\rightarrow 1 \times 5 = 5$
• Total do Caio: $12 + 36 + 21 + 5 = 74$ pontos

Pontuação da Dani:

• Ranking I ($4$ juízes): 4º lugar ($2$ pontos) $\rightarrow 2 \times 4 = 8$
• Ranking II ($9$ juízes): 1º lugar ($5$ pontos) $\rightarrow 5 \times 9 = 45$
• Ranking III ($7$ juízes): 5º lugar ($1$ ponto) $\rightarrow 1 \times 7 = 7$
• Ranking IV ($5$ juízes): 3º lugar ($3$ pontos) $\rightarrow 3 \times 5 = 15$
• Total da Dani: $8 + 45 + 7 + 15 = 75$ pontos

Pontuação do Edu:

• Ranking I ($4$ juízes): 5º lugar ($1$ ponto) $\rightarrow 1 \times 4 = 4$
• Ranking II ($9$ juízes): 3º lugar ($3$ pontos) $\rightarrow 3 \times 9 = 27$
• Ranking III ($7$ juízes): 4º lugar ($2$ pontos) $\rightarrow 2 \times 7 = 14$
• Ranking IV ($5$ juízes): 1º lugar ($5$ pontos) $\rightarrow 5 \times 5 = 25$
• Total do Edu: $4 + 27 + 14 + 25 = 70$ pontos

Conclusão

Comparando as pontuações finais, temos:

• Ana: $86$ pontos
• Dani: $75$ pontos
• Caio: $74$ pontos
• Bia: $70$ pontos
• Edu: $70$ pontos

A aluna Ana obteve a maior pontuação total. Note que, embora a Dani tenha ficado em primeiro lugar no ranking com mais juízes (Ranking II), a Ana foi muito mais regular, mantendo-se nas primeiras colocações na maioria dos rankings, o que garantiu a sua vitória no Método de Borda.

Portanto, a poesia vencedora foi a de Ana.