Questão 167 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender como a pontuação de cada chapa é calculada. O sistema de votação utiliza uma média ponderada, onde os votos dos sócios patrimoniais têm peso $0,6$ e os dos sócios contribuintes têm peso $0,4$.

Vamos calcular a pontuação que cada chapa obteve na primeira eleição.

Para a Chapa I:

• Votos patrimoniais: $850 \times 0,6 = 510$ pontos
• Votos contribuintes: $4\,300 \times 0,4 = 1\,720$ pontos
• Pontuação total da Chapa I: $510 + 1\,720 = 2\,230$ pontos

Para a Chapa II:

• Votos patrimoniais: $1\,300 \times 0,6 = 780$ pontos
• Votos contribuintes: $2\,120 \times 0,4 = 848$ pontos
• Pontuação total da Chapa II: $780 + 848 = 1\,628$ pontos

Na nova eleição, o enunciado nos garante que os votos dos sócios patrimoniais não mudarão. O objetivo da Chapa II é convencer uma quantidade $x$ de sócios contribuintes, que antes votaram na Chapa I, a mudarem seus votos para a Chapa II.

Quando um sócio contribuinte muda seu voto da Chapa I para a Chapa II, a Chapa I perde $0,4$ pontos e a Chapa II ganha $0,4$ pontos. Assim, podemos expressar as novas pontuações em função de $x$:

• Nova pontuação da Chapa I: $2\,230 - 0,4x$
• Nova pontuação da Chapa II: $1\,628 + 0,4x$

Para que a Chapa II seja a vencedora, sua pontuação final deve ser estritamente maior que a da Chapa I. Montamos então a seguinte inequação: $1\,628 + 0,4x > 2\,230 - 0,4x$

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar o valor de $x$. Somamos $0,4x$ em ambos os lados e subtraímos $1\,628$: $0,4x + 0,4x > 2\,230 - 1\,628$ $0,8x > 602$

Isolando o $x$, temos: $x > \frac{602}{0,8}$ $x > 752,5$

Como $x$ representa a quantidade de pessoas (sócios contribuintes), ele deve obrigatoriamente ser um número inteiro. O menor número inteiro que é estritamente maior que $752,5$ é $753$.

Portanto, a menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto para que a Chapa II vença é $753$.