Questão 160 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos descobrir a área de cada tipo de região (clara e sombreada) do vitral e, em seguida, multiplicar cada área pelo preço do material correspondente.

O enunciado trabalha com custo por metro quadrado e as alternativas trazem valores exatos em reais, o que é compatível com um vitral quadrado de $1 \text{ m}$ de lado (na prova original o texto informava "um vitral quadrado de 1 m de lado"). Assim, adotamos a área total do vitral como $1 \text{ m}^2$.

Identificando as regiões na figura

A figura mostra um quadrado com os pontos médios dos lados marcados como A (esquerda), B (topo), C (direita) e D (base). Sobre a diagonal horizontal que liga A a C aparecem os pontos P e Q, com $AP$ e $QC$ medindo $\tfrac{1}{4}$ do lado. As regiões mais claras (ABPDA e BCDQB, conforme o enunciado) ficam junto aos vértices laterais A e C, e o restante da figura é a parte sombreada.

Pelo enunciado, sabemos que:

• $AP = QC = \tfrac{1}{4}$ do lado $= \tfrac{1}{4} \text{ m}$;
• B e D são pontos médios dos lados superior e inferior, então a distância vertical de cada um deles até a linha horizontal AC é metade do lado, ou seja, $\tfrac{1}{2} \text{ m}$.

Área da região clara

Cada região clara (por exemplo, a da esquerda, ligada ao ponto A) pode ser vista como dois triângulos que compartilham a base $AP$: um com vértice em B (acima da linha AC) e outro com vértice em D (abaixo dela).

Para cada triângulo, a base é $AP = \tfrac{1}{4} \text{ m}$ e a altura correspondente é $\tfrac{1}{2} \text{ m}$ (distância de B, ou de D, até a linha AC): $A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{16} \text{ m}^2$

Como são dois triângulos por região clara, cada região clara mede: $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \text{ m}^2$

Há duas regiões claras simétricas (uma junto a A, outra junto a C), então a área clara total é: $A_{\text{clara}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \text{ m}^2$

Área da região sombreada

A parte sombreada é o que sobra do quadrado depois de retirar a área clara: $A_{\text{sombreada}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ m}^2$

Custo total

Agora multiplicamos cada área pelo preço do respectivo material.

Parte clara (R$ 50,00 o m²): $C_{\text{clara}} = \frac{1}{4} \times 50 = 12,50$

Parte sombreada (R$ 30,00 o m²): $C_{\text{sombreada}} = \frac{3}{4} \times 30 = \frac{90}{4} = 22,50$

Somando os dois valores: $C_{\text{total}} = 12,50 + 22,50 = 35,00$

Portanto, o custo dos materiais usados na fabricação do vitral é de R$ 35,00, o que corresponde à alternativa B.