Questão 141 do ENEM 2012 — Matemática

A ideia central é comparar a área do forro antes e depois da lavagem. A parte que "sumiu" é justamente o que a lavagem encolheu.

Montando as dimensões

Chame as medidas originais do forro de $a$ (comprimento) e $b$ (largura). Ao ser lavado, ele encolhe $x$ no comprimento e $y$ na largura. Logo, o forro passa a medir $(a - x)$ por $(b - y)$.

A área inicial é: $A_{inicial} = a \cdot b$

A área final, após o encolhimento, é: $A_{final} = (a - x)(b - y)$

Calculando a área perdida

A área perdida é a diferença entre a inicial e a final: $A_{perdida} = a\,b - (a - x)(b - y)$

Distribuindo o produto: $(a - x)(b - y) = ab - ay - bx + xy$

Substituindo: $A_{perdida} = ab - (ab - ay - bx + xy) = ay + bx - xy$

Substituindo as medidas do forro

Na figura, o forro tem comprimento $5$ e largura $3$, com a faixa perdida de espessura $x$ no comprimento e $y$ na largura. Tomando $a = 5$ e $b = 3$: $A_{perdida} = 5y + 3x - xy$

Interpretação geométrica

Esse resultado tem um significado visual claro. A região perdida tem formato de "L": uma faixa lateral (de área $3x$) mais uma faixa inferior (de área $5y$). Só que o pequeno retângulo do canto, de dimensões $x$ por $y$, pertence às duas faixas ao mesmo tempo. Se somamos $3x + 5y$, esse cantinho é contado duas vezes; por isso descontamos $xy$ uma vez.

A expressão que representa a área perdida é, portanto, $5y + 3x - xy$, correspondente à alternativa E.