Questão 168 do ENEM 2019 — Matemática

Para responder, precisamos contar os vértices ($V$), as arestas ($A$) e as faces ($F$) do sólido mostrado na figura e, em seguida, verificar qual relação essas quantidades satisfazem. O enunciado já avisa que a relação clássica de Euler, $V + F = A + 2$, pode falhar em poliedros não convexos, e este é justamente um caso desses: um bloco em forma de paralelepípedo com uma cavidade retangular escavada na face superior.

1. Contagem dos vértices ($V$)

Os vértices são os "cantos" do sólido.

• Bloco externo: por ser um paralelepípedo, tem $4$ cantos na base inferior e $4$ cantos no contorno superior, totalizando $8$ vértices.
• Cavidade (buraco retangular): a abertura retangular no topo acrescenta $4$ cantos, e o fundo da cavidade acrescenta mais $4$, totalizando $8$ vértices.
• Total: $V = 8 + 8 = 16$.

2. Contagem das arestas ($A$)

As arestas são os segmentos onde duas faces se encontram.

• Bloco externo: um paralelepípedo tem $12$ arestas ($4$ na base, $4$ verticais e $4$ no contorno superior).
• Cavidade: o buraco contribui com $4$ arestas na borda da abertura, $4$ arestas descendo para o fundo e $4$ arestas no contorno do fundo, totalizando $12$.
• Total: $A = 12 + 12 = 24$.

3. Contagem das faces ($F$)

Aqui está o ponto delicado, ligado à face superior.

• Faces externas: $1$ face na base inferior e $4$ faces laterais, totalizando $5$.
• Faces da cavidade: $1$ face no fundo do buraco e $4$ faces laterais internas, totalizando $5$.
• Face superior: o topo do bloco é uma única superfície plana com um retângulo vazado no meio (a abertura da cavidade). Mesmo com o buraco, ela é uma só face. Conta como $1$.
• Total: $F = 5 + 5 + 1 = 11$.

4. Encontrando a relação

Com os valores em mãos, comparamos os dois lados:

• $V + F = 16 + 11 = 27$;
• $A = 24$.

Como $27 = 24 + 3$, a relação satisfeita por este poliedro não convexo é: $V + F = A + 3$

Isso confirma o alerta do enunciado: a relação de Euler clássica ($V + F = A + 2$) não vale aqui. A resposta é a alternativa E.