Questão 143 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender qual é a nossa meta, ou seja, qual é o tempo de estudo que queremos atingir. O enunciado nos diz que a meta é chegar a $70\%$ do tempo necessário para a obtenção de um curso superior, que é de $16$ anos.

Vamos calcular esse valor: $\text{Meta} = 70\% \text{ de } 16$ $\text{Meta} = 0,70 \times 16 = 11,2 \text{ anos}$

Agora, vamos analisar os dados fornecidos na tabela. O tempo médio de estudo ao longo dos anos forma uma sequência numérica:

• Em $1995$, o tempo era de $5,2$ anos.
• Em $1999$, passou para $5,8$ anos.
• Em $2003$, foi para $6,4$ anos.
• Em $2007$, chegou a $7,0$ anos.

Observe que o tempo de estudo está aumentando de forma constante. A cada período, o aumento é de: $5,8 - 5,2 = 0,6 \text{ ano}$ $6,4 - 5,8 = 0,6 \text{ ano}$

Como o aumento é sempre o mesmo, estamos lidando com uma Progressão Aritmética (PA). Nessa PA, o nosso primeiro termo ($a_1$) é $5,2$ e a razão ($r$) é $0,6$. Além disso, é muito importante notar que cada "salto" nessa sequência ocorre a cada $4$ anos (de $1995$ para $1999$, por exemplo).

Queremos descobrir em qual termo dessa sequência o tempo de estudo será igual à nossa meta de $11,2$ anos. Para isso, usamos a fórmula do termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que conhecemos: $11,2 = 5,2 + (n - 1) \cdot 0,6$

Agora, resolvemos a equação para encontrar $n$: $11,2 - 5,2 = (n - 1) \cdot 0,6$ $6,0 = (n - 1) \cdot 0,6$ $n - 1 = \frac{6,0}{0,6}$ $n - 1 = 10$ $n = 11$

Isso significa que a nossa meta será atingida no $11^\circ$ termo da sequência.

Mas a questão pede o ano em que isso vai acontecer. Sabemos que o primeiro termo ($n = 1$) ocorreu no ano de $1995$. Para chegar ao $11^\circ$ termo, precisamos dar $10$ "saltos" (ou seja, $n - 1 = 10$ intervalos).

Como cada intervalo corresponde a $4$ anos, o tempo total que vai se passar a partir de $1995$ é: $10 \text{ intervalos} \times 4 \text{ anos/intervalo} = 40 \text{ anos}$

Por fim, somamos esse tempo ao ano inicial para descobrir o ano em que a meta será atingida: $\text{Ano final} = 1995 + 40 = 2035$

Portanto, o tempo médio de estudo atingirá o percentual pretendido no ano de $2035$.