Questão 143 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar as medidas reais do terreno com as medidas na planta baixa, utilizando a escala fornecida.

A questão nos diz que o terreno é quadrado e possui uma área real de $9 \text{ m}^2$. Além disso, a escala da planta baixa é de $1 : 25$, o que significa que cada $1 \text{ cm}$ no desenho corresponde a $25 \text{ cm}$ na realidade. O nosso objetivo é descobrir a área desse terreno na planta baixa, em centímetros quadrados ($\text{cm}^2$).

Podemos resolver esse problema de duas maneiras muito interessantes. Vamos ver ambas!

Método 1: descobrindo o lado do quadrado

Sabemos que a área de um quadrado é calculada elevando a medida do seu lado ao quadrado ($A = L^2$). Como a área real é de $9 \text{ m}^2$, podemos encontrar a medida do lado real do terreno: $L^2 = 9 \implies L = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$

Como a resposta final deve ser em centímetros quadrados, é conveniente converter essa medida linear para centímetros. Sabendo que $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, temos: $L = 3 \text{ m} = 300 \text{ cm}$

Agora, aplicamos a escala de $1 : 25$ para descobrir o tamanho desse lado no desenho. Basta dividir a medida real por $25$: $L_{\text{desenho}} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm}$

Com o lado do quadrado no desenho medindo $12 \text{ cm}$, a área na planta baixa será: $A_{\text{desenho}} = 12^2 = 144 \text{ cm}^2$

Método 2: utilizando a escala de área

Outra forma de pensar é converter a área real diretamente para a área do desenho. Primeiro, vamos converter a área real de metros quadrados para centímetros quadrados. Como $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, ao elevarmos ao quadrado temos que $1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$. Portanto: $A_{\text{real}} = 9 \text{ m}^2 = 90\,000 \text{ cm}^2$

Atenção a um detalhe crucial: a escala $1 : 25$ é uma escala linear (para comprimentos). Quando trabalhamos com áreas, precisamos elevar a escala ao quadrado. Assim, a escala de área será: $\left(\frac{1}{25}\right)^2 = \frac{1}{625}$

Isso significa que $1 \text{ cm}^2$ no desenho equivale a $625 \text{ cm}^2$ na realidade. Para encontrar a área no desenho, dividimos a área real por $625$: $A_{\text{desenho}} = \frac{90\,000}{625} = 144 \text{ cm}^2$

Ambos os caminhos nos levam ao mesmo resultado. A área da figura que representa o terreno na planta baixa é de $144 \text{ cm}^2$.