Questão 143 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender o comportamento da quantidade $Q$ da substância no sangue do paciente em função do tempo $t$. O enunciado nos diz que $Q$ é uma função quadrática de $t$. Toda função quadrática tem a forma geral:

$Q(t) = at^2 + bt + c$

Onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais que precisamos descobrir. Para isso, vamos usar os dados fornecidos na tabela:

• Para $t = 0$, temos $Q = 1$
• Para $t = 1$, temos $Q = 4$
• Para $t = 2$, temos $Q = 6$

Substituindo o primeiro ponto $(t = 0, Q = 1)$ na equação geral, encontramos rapidamente o valor de $c$:

$Q(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1$ $c = 1$

Agora que sabemos que $c = 1$, a nossa função fica com a cara $Q(t) = at^2 + bt + 1$. Vamos usar os outros dois pontos para montar um sistema de equações e descobrir $a$ e $b$.

Substituindo $t = 1$ e $Q = 4$: $a(1)^2 + b(1) + 1 = 4$ $a + b = 3 \quad \text{(Equação 1)}$

Substituindo $t = 2$ e $Q = 6$: $a(2)^2 + b(2) + 1 = 6$ $4a + 2b = 5 \quad \text{(Equação 2)}$

Agora, resolvemos o sistema formado pelas Equações 1 e 2. Podemos isolar $b$ na Equação 1: $b = 3 - a$

E substituir esse valor na Equação 2: $4a + 2(3 - a) = 5$ $4a + 6 - 2a = 5$ $2a = 5 - 6$ $2a = -1$ $a = -0,5$

Com o valor de $a$ em mãos, voltamos para encontrar $b$: $b = 3 - (-0,5)$ $b = 3 + 0,5$ $b = 3,5$

Pronto! Agora temos a lei de formação completa da nossa função quadrática: $Q(t) = -0,5t^2 + 3,5t + 1$

O enunciado pede a quantidade da substância circulando uma hora após o último dado coletado. Como o último dado foi coletado em $t = 2$, queremos saber o valor de $Q$ quando $t = 2 + 1 = 3$ horas.

Basta substituir $t = 3$ na nossa função: $Q(3) = -0,5(3)^2 + 3,5(3) + 1$ $Q(3) = -0,5(9) + 10,5 + 1$ $Q(3) = -4,5 + 10,5 + 1$ $Q(3) = 6 + 1$ $Q(3) = 7$

Portanto, a quantidade da substância circulando na corrente sanguínea após 3 horas será de $7\text{ mg}$.