Questão 139 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos determinar duas coisas: o comprimento total da ciclovia e a extensão máxima que um único policial consegue proteger.

Comprimento da Ciclovia

A ciclovia contorna uma lagoa circular, logo, seu formato é o de uma circunferência. O comprimento $C$ de uma circunferência é calculado pela fórmula: $C = 2 \cdot \pi \cdot R$ onde $R$ é o raio. O enunciado nos informa que o raio é de $1 \text{ km}$. Como a distância de proteção do policial foi dada em metros, é conveniente convertermos o raio para a mesma unidade: $R = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ O problema também pede para utilizarmos a aproximação $\pi = 3$. Substituindo esses valores na fórmula, encontramos o comprimento total da pista: $C = 2 \cdot 3 \cdot 1000$ $C = 6000 \text{ m}$

Área de Cobertura de um Policial

O texto diz que um ponto da ciclovia está protegido se houver um policial a, no máximo, $200 \text{ m}$ de distância dele. Isso significa que, ao se posicionar em um ponto fixo da pista, um policial consegue vigiar $200 \text{ m}$ para um lado e $200 \text{ m}$ para o outro.

Dessa forma, a extensão total da ciclovia que um único policial é capaz de proteger é a soma dessas duas distâncias: $200 \text{ m} + 200 \text{ m} = 400 \text{ m}$

Quantidade Mínima de Policiais

Para que toda a ciclovia fique protegida com o menor número possível de policiais, devemos distribuí-los de modo que suas áreas de cobertura não se sobreponham mais do que o estritamente necessário (neste caso ideal, eles cobrirão trechos consecutivos exatos de $400 \text{ m}$).

Para encontrar a quantidade de policiais ($N$), basta dividirmos o comprimento total da ciclovia pela extensão que cada um protege: $N = \frac{\text{Comprimento total}}{\text{Cobertura por policial}}$ $N = \frac{6000}{400}$ Simplificando a fração, cortando os zeros: $N = \frac{60}{4} = 15$

Portanto, a prefeitura precisará alocar, no mínimo, $15$ policiais ao longo da ciclovia.