Questão 165 do ENEM 2015 — Matemática

O tabuleiro deste jogo funciona como um sistema de coordenadas polares: a posição de cada ponto é dada por uma distância até o centro $O$ (o raio) e por um ângulo de giro. Vamos usar essas duas informações para seguir a bolinha.

Lendo o tabuleiro

Da figura, observamos dois tipos de marcação:

• Raios (distância ao centro): o eixo horizontal à direita está numerado de $1$ a $8$. Cada número corresponde a uma das circunferências concêntricas traçadas a partir de $O$.
• Setores (ângulos): retas passando por $O$ dividem o círculo em fatias iguais. A metade superior do disco (um ângulo de $180^\circ$) aparece repartida em $6$ setores iguais, de modo que cada setor mede $\frac{180^\circ}{6} = 30^\circ.$

Posição inicial

A bolinha parte do ponto $P$. Pela figura, $P$ está sobre a mesma reta radial que passa por $A$ e sua circunferência coincide com a marca $3$ do eixo numerado. Ou seja, tomamos $P$ à distância $3$ do centro, na direção de $A$.

Primeiro movimento: em linha reta

A regra manda mover a bolinha "$2$ unidades no mesmo sentido utilizado para ir de $O$ até $A$". O sentido de $O$ para $A$ é radial para fora (afastando-se do centro). Como $P$ já está na direção de $A$, a bolinha continua na mesma reta e só aumenta o raio: $3 + 2 = 5.$ A bolinha passa a estar na circunferência de raio $5$, ainda na reta de $A$.

Segundo movimento: em arco

Agora a bolinha percorre um arco de $120^\circ$ no sentido anti-horário. Como cada setor mede $30^\circ$, esse giro corresponde a $\frac{120^\circ}{30^\circ} = 4 \text{ setores}.$ Contando $4$ setores no sentido anti-horário a partir da reta de $A$, chegamos à reta radial que, na figura, contém os pontos $B$, $D$, $F$ e $E$. O arco muda apenas o ângulo, então o raio permanece igual a $5$.

Ponto final

Nessa reta, os pontos aparecem em circunferências diferentes: pela figura, $B$ está mais próximo do centro, seguido de $D$, depois $F$ e por fim $E$, o mais afastado. Como a bolinha terminou no raio $5$, ela para exatamente sobre o ponto que ocupa a circunferência $5$ dessa reta, que é o ponto $F$.

Portanto, a resposta é a alternativa D (ponto $F$).