Questão 172 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos visualizar a geometria da estrutura que o síndico está montando. A árvore de Natal iluminada tem o formato de um cone reto.

A chave para o problema é analisar o triângulo retângulo formado por três elementos principais da figura:

• A altura do poste ($h$), que mede $3 \text{ m}$.
• O raio da circunferência no chão ($r$), que é o valor que queremos descobrir.
• O segmento de mangueira de iluminação, que liga o topo do poste até o chão. Na geometria do cone, chamamos esse segmento de geratriz ($g$).

Calculando o comprimento da mangueira

O enunciado nos diz que o síndico utilizará exatamente $100 \text{ m}$ de mangueira para formar a árvore. Essa mangueira será dividida em segmentos iguais que tocarão a circunferência no chão, dividindo-a em $20$ arcos iguais. Isso significa que teremos $20$ segmentos de mangueira (geratrizes) esticados do poste até o chão.

Para encontrar o comprimento de apenas um desses segmentos ($g$), basta dividir o comprimento total pela quantidade de segmentos:

$g = \frac{100}{20} = 5 \text{ m}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Como o poste é fixado perpendicularmente ao chão, a altura ($h$), o raio ($r$) e a geratriz ($g$) formam um triângulo retângulo, onde a geratriz atua como a hipotenusa.

Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do raio:

$g^2 = h^2 + r^2$

Substituindo os valores que já conhecemos ($g = 5$ e $h = 3$):

$5^2 = 3^2 + r^2$ $25 = 9 + r^2$ $r^2 = 25 - 9$ $r^2 = 16$ $r = \sqrt{16}$ $r = 4 \text{ m}$

Dica: Note que este é o famoso triângulo pitagórico $3-4-5$. Se você lembrasse dessa relação geométrica clássica, poderia ter chegado à resposta de forma imediata ao perceber que a hipotenusa era $5$ e um dos catetos era $3$.

Portanto, para que o síndico atinja seu objetivo, o raio da circunferência deverá ser de $4,00 \text{ m}$.