Questão 154 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos trabalhar com as áreas das regiões circulares descritas no enunciado.

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da área de um círculo, que é dada por $A = \pi \cdot \text{raio}^2$.

A figura nos mostra duas regiões principais:

1. A área central: É um círculo de raio $r$. Portanto, sua área é: $A_{\text{central}} = \pi \cdot r^2$

2. A faixa circular sombreada (coroa circular): Essa região é a diferença entre a área do círculo maior (de raio $R$) e a área do círculo menor (de raio $r$). A área do círculo maior total é $\pi \cdot R^2$. Assim, a área da faixa é: $A_{\text{faixa}} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2$

O problema estabelece uma condição fundamental: a área central deve ser igual à área da faixa circular sombreada. Transformando essa informação em uma equação, temos: $A_{\text{central}} = A_{\text{faixa}}$ $\pi \cdot r^2 = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2$

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $R$ e $r$. Como todos os termos da equação são multiplicados por $\pi$, podemos dividir ambos os lados por $\pi$ para simplificar: $r^2 = R^2 - r^2$

Em seguida, isolamos o $R^2$. Para isso, somamos $r^2$ em ambos os lados da equação: $r^2 + r^2 = R^2$ $2r^2 = R^2$

Para encontrar o valor de $R$, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados. Como $R$ e $r$ representam medidas de comprimento (raios), eles são necessariamente valores positivos, então consideramos apenas a raiz positiva: $R = \sqrt{2r^2}$ $R = r\sqrt{2}$

Essa é a relação procurada entre o raio total do canteiro ($R$) e o raio da área central ($r$).