Questão 175 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar as áreas dos cinco triângulos formados no interior do trapézio.

Primeiramente, observe que as bases do trapézio, $BC$ e $AD$, são paralelas. Isso significa que a distância entre elas é constante. Vamos chamar essa distância de $h$. Essa distância $h$ representa a altura de todos os cinco triângulos formados ($\triangle ABP$, $\triangle BPM$, $\triangle PMQ$, $\triangle MQC$ e $\triangle QCD$), pois todos eles possuem uma base sobre um dos lados paralelos do trapézio e o vértice oposto sobre o outro lado paralelo.

A área de um triângulo é calculada pela fórmula: $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$

Como a altura $h$ é exatamente a mesma para todos os cinco triângulos, a única maneira de eles possuírem áreas iguais é se as suas bases também tiverem a mesma medida.

Vamos determinar a medida das bases desses triângulos em função dos lados do trapézio:

• Na base inferior $AD$, o enunciado afirma que os pontos $P$ e $Q$ dividem o segmento em três partes iguais. Logo, as bases dos triângulos $\triangle ABP$, $\triangle PMQ$ e $\triangle QCD$ medem: $AP = PQ = QD = \frac{AD}{3}$

• Na base superior $BC$, o ponto $M$ é o ponto médio. Logo, as bases dos triângulos $\triangle BPM$ e $\triangle MQC$ medem: $BM = MC = \frac{BC}{2}$

Para que as áreas de todos os triângulos sejam iguais, a medida da base de qualquer um deles deve ser a mesma. Portanto, podemos igualar a medida de uma base que está sobre $BC$ com a medida de uma base que está sobre $AD$: $\frac{BC}{2} = \frac{AD}{3}$

O comando da questão pede a razão entre $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$, ou seja, o valor da fração $\frac{BC}{AD}$. Para encontrar essa razão, basta isolá-la na equação que acabamos de montar. Multiplicando ambos os lados por $2$ e dividindo por $AD$, obtemos: $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}$

Assim, a razão que determina áreas iguais para os cinco triângulos é $\frac{2}{3}$.