Questão 166 do ENEM 2025 — Matemática

Para encontrar a expressão algébrica que relaciona o valor total arrecadado $V$ com o número total de exames $n$, precisamos analisar os dois grupos de clientes descritos no problema: os que possuem convênio e os que não possuem.

Analisando os grupos de clientes

O enunciado nos diz que o total de exames realizados é $n$. Desses clientes:

• $\frac{2}{3}$ possuem convênio, o que corresponde a $\frac{2}{3}n$ exames.
• O restante não possui convênio. Como a soma das frações deve ser um inteiro, a fração de clientes sem convênio é $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, o que corresponde a $\frac{1}{3}n$ exames.

Calculando o valor pago por cada grupo

O valor integral do exame é R$ 150,00.

Para os clientes sem convênio, não há desconto. Logo, eles pagam o valor cheio:

• Valor pago: R$ 150,00

Para os clientes com convênio, há um desconto de $30\%$. Isso significa que eles pagam $70\%$ do valor do exame ($100\% - 30\% = 70\%$). Vamos calcular esse valor: $150 \times 0,70 = 105$

• Valor pago: R$ 105,00

Montando a expressão do valor arrecadado

O valor total arrecadado $V$ será a soma do que foi pago pelo grupo com convênio e pelo grupo sem convênio. Podemos escrever isso da seguinte forma:

$V = (\text{quantidade com convênio} \times \text{valor com desconto}) + (\text{quantidade sem convênio} \times \text{valor sem desconto})$

Substituindo os valores que encontramos: $V = \left(\frac{2}{3}n \times 105\right) + \left(\frac{1}{3}n \times 150\right)$

Agora, basta simplificar a expressão matemática: $V = \left(\frac{2 \times 105}{3}\right)n + \left(\frac{150}{3}\right)n$ $V = \left(\frac{210}{3}\right)n + 50n$ $V = 70n + 50n$ $V = 120n$

Portanto, a expressão algébrica que relaciona o valor arrecadado com o número de exames é $V = 120n$.