Questão 163 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver a questão, primeiro analisamos as letras da frase "I AM POTTER" (desconsiderando os espaços). São $9$ letras, que separamos em vogais e consoantes:

• Vogais: I, A, O, E — $4$ letras, todas distintas.
• Consoantes: M, P, T, T, R — $5$ letras, com a letra T repetida $2$ vezes.

A estrutura do anagrama

A condição é que vogais e consoantes fiquem sempre intercaladas. Como há $5$ consoantes e $4$ vogais, a única forma de alternar perfeitamente nas $9$ posições é começar e terminar com consoante. Se começássemos por vogal, faltaria vogal para separar as consoantes no fim. A estrutura obrigatória é:

$C - V - C - V - C - V - C - V - C$

Contando as permutações

Tratamos como duas tarefas independentes: organizar as consoantes nos lugares delas e as vogais nos lugares delas.

1. Consoantes: $5$ posições para M, P, T, T, R. Como a T aparece $2$ vezes, trocar os dois T de lugar não gera anagrama novo, então usamos permutação com repetição:

$P_5^2 = \frac{5!}{2!}$

2. Vogais: $4$ posições para I, A, O, E, todas distintas, logo permutação simples:

$P_4 = 4!$

Total de anagramas

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos as possibilidades:

$\text{Total} = \frac{5!}{2!} \cdot 4!$

Como $2! = 2$, e como a ordem dos fatores não altera o produto ($5! \cdot 4! = 4! \cdot 5!$), reescrevemos:

$\text{Total} = \frac{4! \cdot 5!}{2}$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa E.