Questão 165 do ENEM 2010 — Matemática

⚠️ Errata: a definição da função por partes chegou truncada no enunciado (a primeira sentença aparece cortada em '...para $0 \leq t$'). A resolução usa a função completa do item original do ENEM 2010, cujas sentenças são: $T(t) = \frac{7}{5}t + 20$ para $0 \leq t < 100$ e $T(t) = \frac{2}{125}t^2 - \frac{16}{5}t + 320$ para $t \geq 100$.

O problema pede o tempo total que uma peça permanece no forno. A peça é colocada quando a temperatura atinge $48^\circ\text{C}$ e retirada quando chega a $200^\circ\text{C}$. O forno segue uma função definida por partes, ou seja, a regra muda conforme o tempo $t$.

Primeiro, descobrimos a temperatura no instante de troca das regras, em $t = 100$ min, usando a primeira sentença:

$T(100) = \frac{7}{5} \cdot 100 + 20 = 7 \cdot 20 + 20 = 140 + 20 = 160^\circ\text{C}$

Assim, nos primeiros $100$ minutos a temperatura vai de $20^\circ\text{C}$ até $160^\circ\text{C}$; depois disso, ela ultrapassa $160^\circ\text{C}$ e passa a seguir a segunda regra.

Instante de entrada

A peça entra a $48^\circ\text{C}$. Como $48 < 160$, isso ocorre antes dos $100$ minutos, então usamos a primeira sentença:

$48 = \frac{7}{5}t + 20$ $28 = \frac{7}{5}t$ $t = \frac{28 \cdot 5}{7} = 4 \cdot 5 = 20\text{ min}$

Logo, a peça entra em $t = 20$ min.

Instante de saída

A peça sai a $200^\circ\text{C}$. Como $200 > 160$, isso ocorre após os $100$ minutos, então usamos a segunda sentença:

$200 = \frac{2}{125}t^2 - \frac{16}{5}t + 320$

Levando ao formato $at^2 + bt + c = 0$:

$\frac{2}{125}t^2 - \frac{16}{5}t + 120 = 0$

Multiplicando tudo por $125$:

$2t^2 - 400t + 15000 = 0$

Dividindo por $2$:

$t^2 - 200t + 7500 = 0$

Aplicando Bhaskara, com discriminante:

$\Delta = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7500 = 40000 - 30000 = 10000$ $t = \frac{200 \pm \sqrt{10000}}{2} = \frac{200 \pm 100}{2}$

As raízes são $t_1 = 50$ min e $t_2 = 150$ min. Como a segunda sentença só vale para $t \geq 100$, descartamos $t = 50$ e concluímos que a peça é retirada em $t = 150$ min.

Tempo de permanência

$\text{Tempo} = 150 - 20 = 130\text{ minutos}$

A alternativa correta é a D.