Questão 141 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar como a distância percorrida pelo atleta evolui a cada dia. O problema nos diz que ele corre $3\text{ km}$ no primeiro dia e aumenta $500\text{ metros}$ a cada dia subsequente. Como o aumento diário é constante, estamos lidando com uma Progressão Aritmética (PA).

Primeiro, vamos padronizar as unidades de medida. Como a distância inicial e a distância máxima estão em quilômetros, vamos converter o aumento diário para a mesma unidade: $500\text{ metros} = 0,5\text{ km}$

Agora, podemos identificar os elementos da nossa PA:

• O primeiro termo ($a_1$), que é a distância do primeiro dia, vale $3\text{ km}$.
• A razão ($r$), que é o aumento diário, vale $0,5\text{ km}$.
• O termo geral ($a_n$), que é a distância máxima permitida pelo médico em um único dia, vale $10\text{ km}$.

O que queremos descobrir é o número de dias ($n$) necessários para que o atleta atinja essa marca de $10\text{ km}$. Para isso, utilizamos a fórmula do termo geral da Progressão Aritmética: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que conhecemos na fórmula, temos: $10 = 3 + (n - 1) \cdot 0,5$

Agora, basta resolver a equação para encontrar o valor de $n$. Primeiro, subtraímos $3$ de ambos os lados: $10 - 3 = (n - 1) \cdot 0,5$ $7 = (n - 1) \cdot 0,5$

Em seguida, passamos o $0,5$ dividindo: $\frac{7}{0,5} = n - 1$ $14 = n - 1$

Por fim, somamos $1$ aos dois lados da equação: $n = 14 + 1$ $n = 15$

Portanto, o atleta levará exatamente $15\text{ dias}$ para atingir a marca de $10\text{ km}$ em um único dia de treino, momento em que não poderá mais aumentar a distância conforme a recomendação médica.