Questão 180 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro descobrir qual era a pontuação de uma vitória e de um empate no campeonato de $2012$.

O enunciado nos diz que o time campeão fez $77$ pontos ($P = 77$) com $22$ vitórias ($V = 22$), $11$ empates ($E = 11$) e $5$ derrotas ($D = 5$). Além disso, sabemos que as derrotas valiam zero pontos.

Vamos chamar de $v$ a pontuação de cada vitória e de $e$ a pontuação de cada empate. Podemos montar a seguinte equação para o total de pontos: $22v + 11e + 5 \cdot 0 = 77$ $22v + 11e = 77$

Para simplificar, podemos dividir toda a equação por $11$: $2v + e = 7$

O problema estabelece algumas regras importantes sobre $v$ e $e$:

1. São números inteiros e positivos.
2. O valor da vitória é maior que o do empate ($v > e$).

Vamos testar os valores inteiros positivos para $v$:

• Se $v = 1$, então $2(1) + e = 7 \Rightarrow e = 5$. (Falso, pois $v$ não é maior que $e$)
• Se $v = 2$, então $2(2) + e = 7 \Rightarrow e = 3$. (Falso, pois $v$ não é maior que $e$)
• Se $v = 3$, então $2(3) + e = 7 \Rightarrow e = 1$. (Verdadeiro, pois $3 > 1$)
• Se $v = 4$, então $2(4) + e = 7 \Rightarrow e = -1$. (Falso, pois $e$ deve ser positivo)

Portanto, no sistema de $2012$, cada vitória valia $3$ pontos e cada empate valia $1$ ponto. A expressão para os pontos era $P = 3V + 1E + 0D$.

Agora, vamos analisar a proposta do torcedor para $2013$. Ele sugere que:

• As vitórias e empates continuem com a mesma pontuação ($3$ pontos e $1$ ponto, respectivamente).
• O time derrotado perca $2$ pontos por partida, ou seja, cada derrota contribui com $-2$ pontos para a pontuação total.

Substituindo esses valores na fórmula geral de pontos, temos: $P = 3 \cdot V + 1 \cdot E - 2 \cdot D$ $P = 3V + E - 2D$

Essa é exatamente a expressão apresentada na alternativa correta.