Questão 145 do ENEM 2023 — Matemática

A questão pede para identificar qual jogador está posicionado de forma que o ângulo de visão para as traves do gol (pontos $A$ e $B$) seja idêntico ao ângulo do jogador $Q_1$. Em linguagem matemática, buscamos um ponto $Q_n$ tal que a medida de $A\hat{Q_n}B$ seja igual à medida de $A\hat{Q_1}B$.

O conceito-chave aqui é o do arco capaz, uma propriedade dos ângulos inscritos em uma circunferência.

O arco capaz é o lugar geométrico de todos os pontos que "enxergam" um mesmo segmento de reta sob um mesmo ângulo. Ou seja, se traçarmos uma circunferência passando por $A$ e por $B$, todos os pontos situados sobre um mesmo arco dessa circunferência formam exatamente a mesma medida de ângulo com as extremidades $A$ e $B$. Pontos em arcos diferentes (circunferências de raios diferentes que passam por $A$ e $B$) enxergam o segmento sob ângulos diferentes: quanto mais próximo do segmento, maior o ângulo; quanto mais afastado, menor o ângulo.

Na figura, o campo aparece coberto por várias linhas tracejadas em formato de arcos, todas com extremidades nos pontos $A$ e $B$ (as traves do gol). Cada uma dessas curvas é um arco capaz distinto, isto é, reúne posições com o mesmo ângulo de visão para o gol.

Como o passe deve ir para um jogador cujo ângulo $A\hat{Q_n}B$ seja igual ao ângulo $A\hat{Q_1}B$, o recebedor precisa estar sobre a mesma linha tracejada (o mesmo arco capaz) em que se encontra $Q_1$. Nenhuma outra propriedade — proximidade física, alinhamento ou profundidade no campo — garante ângulos iguais; só a pertença ao mesmo arco garante.

O jogador que atende a essa condição, por estar sobre o mesmo arco capaz de $Q_1$, é o $Q_3$. Os demais jogadores estão sobre arcos diferentes daquele de $Q_1$ e, por isso, enxergam o segmento $AB$ sob ângulos distintos.

Portanto, o jogador que receberá a bola é o $Q_3$.