Questão 168 do ENEM 2021 — Matemática

Essa questão trabalha a nossa visão espacial: precisamos pegar a planificação (o octaedro "aberto" no plano) e imaginar a dobradura que reconstrói o sólido. O próprio enunciado nos entrega a regra decisiva: em um octaedro regular, duas faces são opostas quando não têm nem arestas nem vértices em comum.

Como funciona a oposição no octaedro

O octaedro regular tem $8$ faces triangulares e pode ser pensado como duas pirâmides de base quadrada coladas base com base. Uma propriedade importante desse sólido é que cada face tem exatamente uma face oposta, e essa oposta é paralela a ela. Ou seja, a resposta certa é uma única face, e não um conjunto de faces.

Já dá para eliminar a alternativa A: "1, 2, 3 e 4" propõe quatro opostas ao mesmo tempo, o que é impossível para uma única face.

Estratégia da dobradura

Para identificar a oposta de uma face numa planificação, o método é fixar uma face como "base" e ir dobrando as demais ao redor dela até fechar o sólido. Ao fechar:

• As faces que compartilham uma aresta com a base na planificação sobem como "paredes" vizinhas — logo, não são opostas.
• As faces que, mesmo sem aresta comum, acabam tocando a base num único vértice ao fechar o poliedro também não são opostas (a regra do enunciado exige nenhum ponto em comum).
• A face oposta é a única que termina no lado contrário do sólido, paralela à base, sem encostar nela em nenhum ponto.

Aplicando esse raciocínio à planificação apresentada e acompanhando as dobras face a face, a face que fecha exatamente paralela à face cinza escuro, sem partilhar aresta nem vértice com ela, é a face 4.

Por que as outras não servem

As faces 1, 2 e 3, embora algumas pareçam "distantes" da cinza no desenho plano, acabam encostando nela — por aresta ou por um vértice comum — durante o fechamento lateral e nos "bicos" (polos) do octaedro. Um erro clássico é escolher a face 2 só porque no plano ela aparece no extremo oposto ao da cinza; mas, ao dobrar, as pontas das duas se encontram num vértice, o que já as descarta pela regra do enunciado.

Portanto, a única face que satisfaz plenamente a condição de não tocar a face cinza escuro em ponto algum é a face 4.

Resposta: alternativa E.