Questão 175 do ENEM 2017 — Matemática

Entendendo o Problema

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer em uma sequência de tentativas independentes. O problema nos diz que há $10$ semáforos e queremos que exatamente um deles esteja verde, o que significa que os outros $9$ devem estar vermelhos.

Primeiro, vamos anotar as probabilidades individuais dadas no enunciado:

• Probabilidade de um semáforo estar verde: $P(V) = \frac{2}{3}$
• Probabilidade de um semáforo estar vermelho: $P(R) = \frac{1}{3}$

Calculando a Probabilidade

Como os semáforos funcionam de forma independente, a probabilidade de uma configuração específica ocorrer (por exemplo, o primeiro semáforo verde e os outros nove vermelhos) é obtida multiplicando as probabilidades individuais: $P(\text{configuração específica}) = \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^9$

No entanto, o semáforo verde não precisa ser necessariamente o primeiro. Ele pode ser o segundo, o terceiro, até o décimo. Ou seja, precisamos escolher $1$ semáforo entre os $10$ disponíveis para ser o verde. O número de maneiras de fazer essa escolha é $10$.

Agora, para encontrar a probabilidade total de termos exatamente um semáforo verde, multiplicamos o número de posições possíveis pela probabilidade de cada configuração: $P = 10 \times \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^9$

Chegando à Resposta

Para chegar à resposta final, vamos simplificar a expressão juntando as frações. Como os denominadores são potências de $3$, podemos usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base ($a^m \times a^n = a^{m+n}$): $P = 10 \times \frac{2}{3^1} \times \frac{1^9}{3^9}$ $P = \frac{10 \times 2 \times 1}{3^1 \times 3^9}$ $P = \frac{10 \times 2}{3^{10}}$

Analisando as alternativas, vemos que esse resultado corresponde exatamente à alternativa A.