Questão 150 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos organizar as informações dadas usando a teoria dos conjuntos e, em seguida, calcular a probabilidade condicional solicitada.

Primeiro, vamos listar os dados fornecidos pelo enunciado:

• Total de alunos: $1\,200$
• Falam inglês: $600$
• Falam espanhol: $500$
• Não falam nenhum dos dois idiomas: $300$

Sabemos que o total de alunos é a soma daqueles que falam pelo menos um idioma com aqueles que não falam nenhum. Assim, podemos descobrir quantos alunos falam pelo menos um dos idiomas (inglês ou espanhol): $1\,200 - 300 = 900 \text{ alunos}$

Agora, vamos usar a fórmula da união de dois conjuntos para encontrar a quantidade de alunos que falam ambos os idiomas (a interseção). A fórmula é: $n(I \cup E) = n(I) + n(E) - n(I \cap E)$

Substituindo os valores que temos: $900 = 600 + 500 - n(I \cap E)$ $900 = 1\,100 - n(I \cap E)$ $n(I \cap E) = 1\,100 - 900 = 200$

Portanto, $200$ alunos falam tanto inglês quanto espanhol. Com essa informação, podemos determinar quantos alunos falam apenas espanhol. Como $500$ alunos falam espanhol no total e $200$ deles também falam inglês, temos: $\text{Apenas espanhol} = 500 - 200 = 300 \text{ alunos}$

O comando da questão pede a probabilidade de um aluno falar espanhol, sabendo-se que ele não fala inglês. Isso é uma probabilidade condicional. A condição "não fala inglês" reduz o nosso espaço amostral (o total de possibilidades).

Vamos calcular quantos alunos não falam inglês. Podemos fazer isso subtraindo do total de alunos aqueles que falam inglês: $\text{Não falam inglês} = 1\,200 - 600 = 600 \text{ alunos}$ (Outra forma de pensar é somar os que falam apenas espanhol com os que não falam nenhum idioma: $300 + 300 = 600$.)

Esse é o nosso novo "universo" (espaço amostral). Dentre esses $600$ alunos que não falam inglês, queremos saber quantos falam espanhol. Como já calculamos, os alunos que não falam inglês e falam espanhol são exatamente aqueles que falam apenas espanhol, ou seja, $300$ alunos.

Por fim, calculamos a probabilidade dividindo os casos favoráveis pelo total do nosso novo espaço amostral: $P = \frac{\text{falam apenas espanhol}}{\text{não falam inglês}} = \frac{300}{600}$

Simplificando a fração: $P = \frac{1}{2}$

Portanto, a probabilidade de que esse aluno fale espanhol é de $1/2$.