Questão 140 do ENEM 2010 — Matemática

ENEM 2010Matemática2ª aplicação

Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na figura seguinte:

Desenho técnico de um arame dobrado em segmentos de reta sobre um eixo horizontal (arame rígido). Os pontos são identificados como A, B, C, D, E, F e G. O segmento AB é inclinado, BC é paralelo ao eixo, CD é perpendicular ao eixo, DE é inclinado, EF é paralelo ao eixo e FG é perpendicular ao eixo.

Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução.

Sabendo que, na figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:

pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.

cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero.

cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.

Resposta correta

cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.

cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.

Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Cada segmento do arame, ao girar em torno do eixo rígido (a reta que passa por $A$ e $G$ ), gera um sólido de revolução; vamos classificar da ponta ( $A$ ) até a cauda ( $G$ ).

Uma regra geral orienta toda a análise:

um segmento oblíquo com uma extremidade sobre o eixo gera um cone;
um segmento paralelo ao eixo gera um cilindro;
um segmento oblíquo que não toca o eixo gera um tronco de cone;
um segmento perpendicular ao eixo gera apenas um disco/coroa (uma face plana, sem volume próprio).

1. Segmento AB (ponta)

Na figura, $A$ está sobre o eixo e $B$ acima dele, de modo que $AB$ é oblíquo com uma extremidade no eixo. Sua rotação gera um cone reto.

2. Segmento BC (corpo)

O enunciado afirma que $B, C, E, F$ são colineares, e na figura essa reta aparece paralela ao eixo, à distância $FG$ . Um segmento paralelo ao eixo gera um cilindro reto.

(O trecho $CD$ desce de $C$ até $D$ , aproximando-se do eixo; por não ser paralelo ao eixo, ele contribui apenas com uma superfície de fechamento entre um sólido e o seguinte, sem gerar volume próprio.)

3. Segmento DE (encaixe)

Na figura, $DE$ sobe de $D$ (mais perto do eixo) até $E$ (na altura da reta $BF$ ), sendo oblíquo e sem tocar o eixo. Um segmento assim gera um tronco de cone.

4. Segmento EF (cauda)

$EF$ pertence à mesma reta paralela ao eixo (pois $E$ e $F$ são colineares com $B$ e $C$ ), à distância $FG$ do eixo. Logo, gera um cilindro.

Agora precisamos qualificar esse último cilindro usando as relações dadas:

$AB = 4FG$ , $BC = 3FG$ , $EF = 2FG$ .

O raio da base é a distância da reta ao eixo, $R = FG$ , e a altura é o comprimento do segmento, $h = EF$ . Como $EF = 2FG$ : $h = 2\,FG = 2R.$

Quando a altura de um cilindro é igual ao diâmetro da base ( $h = 2R$ ), ele é chamado cilindro equilátero.

(Confirmando que o primeiro cone não é equilátero: sua geratriz é $AB = 4FG = 4R$ , enquanto o diâmetro da base é $2R$ . Como $g \neq 2R$ , trata-se de um cone reto comum.)

Conclusão

Da ponta para a cauda, a sequência é: cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero — alternativa C.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2010 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.