Questão 152 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos modelar matematicamente o crescimento da produção da indústria ao longo dos anos. O enunciado nos diz que a produção inicial, no primeiro ano de funcionamento ($t = 1$), foi de $8\,000$ unidades. A partir do segundo ano, a produção sofre um aumento de $50\%$ a cada ano.

Entendendo o fator de crescimento

Quando um valor sofre um aumento percentual, podemos encontrar o novo valor multiplicando o valor original por um fator de multiplicação.

Se a produção aumenta em $50\%$, isso significa que a nova produção será os $100\%$ do ano anterior mais os $50\%$ de aumento, totalizando $150\%$ da produção do ano anterior.

Transformando essa porcentagem em número decimal, temos: $150\% = \frac{150}{100} = 1,5$

Portanto, a cada ano que passa, a produção é multiplicada por $1,5$.

Construindo a função

Vamos analisar o que acontece com a produção $P(t)$ ano a ano para identificar o padrão:

• Ano 1 ($t = 1$): A produção é o valor inicial. $P(1) = 8\,000$

• Ano 2 ($t = 2$): A produção do ano 1 multiplicada por $1,5$. $P(2) = 8\,000 \cdot 1,5$

• Ano 3 ($t = 3$): A produção do ano 2 multiplicada por $1,5$. $P(3) = (8\,000 \cdot 1,5) \cdot 1,5 = 8\,000 \cdot (1,5)^2$

• Ano 4 ($t = 4$): A produção do ano 3 multiplicada por $1,5$. $P(4) = 8\,000 \cdot (1,5)^2 \cdot 1,5 = 8\,000 \cdot (1,5)^3$

Observe o padrão que se formou: o expoente do fator $1,5$ é sempre uma unidade menor que o ano $t$. Isso acontece porque no primeiro ano ($t=1$) não houve aumento, então o fator $1,5$ não aparece (ou seja, está elevado a zero, pois $1-1=0$). O primeiro aumento só ocorre no ano $2$.

Generalizando essa lógica para um ano $t$ qualquer, o expoente será $(t - 1)$. Assim, a expressão que determina o número de unidades produzidas em função do tempo é: $P(t) = 8\,000 \cdot (1,5)^{t-1}$

Essa é uma clássica função exponencial (ou o termo geral de uma Progressão Geométrica), onde $8\,000$ é o valor inicial e $1,5$ é a razão de crescimento.

Analisando as alternativas, a que corresponde exatamente à expressão que encontramos é a alternativa E.