Questão 161 do ENEM 2021 — Matemática

Entendendo a arrecadação

A arrecadação (ou receita) de um show é o valor do ingresso multiplicado pelo número de pessoas que pagaram para entrar. Vamos chamar de $x$ o valor do desconto, em reais, aplicado sobre o preço atual.

Modelando a função

O enunciado descreve como o preço e o público mudam conforme o desconto:

• Preço do ingresso: começa em R$ 20,00. Com um desconto de $x$ reais, o novo preço passa a ser $(20 - x)$.
• Público: começa em 200 pessoas. A cada R$ 1,00 de desconto, o público aumenta em 40 pessoas. Logo, com desconto de $x$ reais, o público passa a ser $(200 + 40x)$.

Multiplicando o novo preço pelo novo público, obtemos a arrecadação $A(x)$:

$A(x) = (20 - x)\cdot(200 + 40x)$

Aplicando a distributiva:

$A(x) = 4000 + 800x - 200x - 40x^2$

$A(x) = -40x^2 + 600x + 4000$

Analisando o tipo de gráfico

A função $A(x) = -40x^2 + 600x + 4000$ é uma função do 2º grau (quadrática), cujo gráfico é sempre uma parábola. Como o coeficiente de $x^2$ é negativo ($-40$), a concavidade é voltada para baixo (formato de "montanha").

Isso faz sentido na prática: a arrecadação cresce com os primeiros descontos, atinge um valor máximo e depois cai quando o ingresso fica barato demais. Esse comportamento já elimina os gráficos que mostram retas, pois uma reta representaria crescimento (ou queda) constante, não um máximo.

O detalhe decisivo: o domínio

A "pegadinha" está na restrição do enunciado: os donos do teatro só admitem valores inteiros para o ingresso, por causa do troco. Como o preço original R$ 20,00 é inteiro, para que o novo preço $(20 - x)$ continue inteiro, o desconto $x$ também deve ser inteiro ($0, 1, 2, 3, \dots$).

Quando o gráfico é uma linha contínua, ele indica que a variável assume qualquer valor real, inclusive decimais (como um desconto de R$ 1,50). Aqui isso não pode acontecer: como $x$ só assume valores inteiros, o gráfico correto é formado por pontos isolados (domínio discreto), acompanhando o formato de parábola com concavidade para baixo.

Conclusão

O gráfico procurado reúne duas características: formato de parábola com concavidade para baixo (a arrecadação sobe, atinge um máximo e desce) e pontos discretos, não uma curva contínua. Esse é o gráfico da alternativa E.