Questão 152 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro traduzir a regra de pontuação do jogo para uma expressão matemática.

Vamos chamar de $x$ o número de moedas que um competidor consegue coletar. De acordo com o enunciado, a pontuação final será o número de moedas coletadas ($x$) menos uma porcentagem igual a esse mesmo número ($x\%$) sobre o total de moedas coletadas ($x$).

Lembrando que $x\%$ é o mesmo que $\frac{x}{100}$, podemos escrever a quantidade a ser subtraída como: $\text{Subtração} = \frac{x}{100} \cdot x = \frac{x^2}{100}$

Assim, a função que define a pontuação $P(x)$ do competidor em função do número de moedas coletadas é: $P(x) = x - \frac{x^2}{100}$ $P(x) = -\frac{1}{100}x^2 + x$

Note que temos uma função do segundo grau (função quadrática) da forma $P(x) = ax^2 + bx + c$, onde:

• $a = -\frac{1}{100}$
• $b = 1$
• $c = 0$

Como o coeficiente $a$ é negativo ($a < 0$), o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isso significa que ela possui um ponto de máximo, que é exatamente o vértice da parábola. O problema nos pede o limite máximo de pontos, ou seja, o valor máximo da função ($y_v$).

Podemos encontrar a pontuação máxima de duas maneiras. A primeira é descobrindo quantas moedas dão a pontuação máxima (o $x$ do vértice) e depois substituindo na função. A fórmula do $x_v$ é: $x_v = \frac{-b}{2a}$ $x_v = \frac{-1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{100}\right)} = \frac{-1}{-\frac{2}{100}} = \frac{100}{2} = 50$

Isso significa que o competidor deve coletar $50$ moedas para obter a maior pontuação possível. Para descobrir qual é essa pontuação, substituímos $x = 50$ na função $P(x)$: $P(50) = 50 - \frac{50^2}{100}$ $P(50) = 50 - \frac{2500}{100}$ $P(50) = 50 - 25 = 25$

A segunda maneira seria usar diretamente a fórmula do $y$ do vértice ($y_v$): $y_v = \frac{-\Delta}{4a}$ Primeiro, calculamos o $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{100}\right) \cdot 0 = 1$ Agora, calculamos o $y_v$: $y_v = \frac{-1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{100}\right)} = \frac{-1}{-\frac{4}{100}} = \frac{100}{4} = 25$

Portanto, o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova é $25$.