Questão 166 do ENEM 2014 — Matemática

Para achar a quantidade de madeira descartada, calculamos o volume do cilindro de madeira original e subtraímos dele o volume do pião esculpido.

Dimensões dos sólidos

De acordo com as medidas indicadas nas figuras: o cilindro (Figura 1) tem diâmetro de $6 \text{ cm}$ — logo raio $r = 3 \text{ cm}$ — e altura $h = 7 \text{ cm}$. O pião (Figura 2) é formado por um cone na ponta de baixo e uma semiesfera (metade de uma esfera) no topo, com a altura do cone indicada como $4 \text{ cm}$.

Para ter a maior altura possível e descartar o mínimo de madeira, o pião ocupa toda a largura e a altura do cilindro. Assim, o raio do cone e da semiesfera é o mesmo do cilindro, $r = 3 \text{ cm}$. A altura da semiesfera equivale ao seu raio, $3 \text{ cm}$. Somando com o cone: $4 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 7 \text{ cm}$, exatamente a altura do cilindro — o pião se encaixa perfeitamente.

Calculando os volumes

Vamos manter o $\pi$ indicado até o fim para facilitar as contas.

Volume do cilindro (madeira total): $V_{cilindro} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 = \pi \cdot 9 \cdot 7 = 63\pi$

Volume do cone: $V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$

Volume da semiesfera (metade da esfera): $V_{semiesfera} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \right) = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 18\pi$

Volume do pião (cone $+$ semiesfera): $V_{pi\tilde{a}o} = 12\pi + 18\pi = 30\pi$

Madeira descartada

A madeira descartada é o que sobra do cilindro depois de tirar o pião: $V_{descartado} = V_{cilindro} - V_{pi\tilde{a}o} = 63\pi - 30\pi = 33\pi$

O enunciado pede para aproximar $\pi$ por $3$: $V_{descartado} = 33 \cdot 3 = 99 \text{ cm}^3$

Portanto, são descartados $99 \text{ cm}^3$ de madeira, o que corresponde à alternativa E.