Questão 155 do ENEM 2020 — Matemática

A questão descreve um processo de construção de quadrados em que cada novo quadrado possui o lado medindo a metade do lado do quadrado anterior. Nosso objetivo é descobrir a medida do lado do centésimo quadrado dessa sequência.

Podemos modelar essa situação matemática observando as medidas dos primeiros quadrados:

• O lado do $1^\circ$ quadrado é $1$.
• O lado do $2^\circ$ quadrado é a metade do primeiro, ou seja, $\frac{1}{2}$.
• O lado do $3^\circ$ quadrado é a metade do segundo, ou seja, $\frac{1}{4}$.
• O lado do $4^\circ$ quadrado é a metade do terceiro, ou seja, $\frac{1}{8}$.

Note que a sequência dos lados é $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\right)$. Como cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por um valor constante, estamos diante de uma Progressão Geométrica (PG).

Nessa PG, temos os seguintes elementos:

• O primeiro termo ($a_1$) é a medida do lado do primeiro quadrado: $a_1 = 1$.
• A razão ($q$) é o fator multiplicativo constante para passar de um termo ao próximo: $q = \frac{1}{2}$.

Para encontrar o valor de um termo em uma posição específica de uma PG, utilizamos a fórmula do termo geral: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Como queremos descobrir a medida do lado do centésimo quadrado, precisamos calcular o valor de $a_{100}$. Substituindo os valores que identificamos na fórmula, temos: $a_{100} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{100-1}$ $a_{100} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{99}$ $a_{100} = \left(\frac{1}{2}\right)^{99}$

Um erro comum nesse tipo de questão é esquecer o $-1$ no expoente da fórmula e achar que a resposta seria elevada a $100$. Lembre-se de que a razão só começa a ser multiplicada a partir do segundo termo, por isso o expoente é sempre uma unidade menor que a posição do termo procurado ($n-1$).

Portanto, a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão é $\left(\frac{1}{2}\right)^{99}$.