Questão 137 do ENEM 2021Matemática

ENEM 2021Matemática1ª aplicação

O Atomiuim, representado na imagem é um
dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi
construído em 1958 para a primeira grande exposição
mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira
Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no
formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um
dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo,
e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal
ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo,
foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra
esfera foi construída centrada no ponto de interseção das
diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são
interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se
conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos
cilíndricos que possuem escadas em seu interior,
permitindo o deslocamento de pessoas pela parte
interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o
deslocamento é feito por um elevador, que permite o
deslocamento entre as esferas da base e a esfera do
ponto mais alto, passando pela esfera central.

Considere um visitante que se deslocou pelo interior
do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.

A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por
A
B
C
D
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Esta questão exige visão espacial e o conceito de projeção ortogonal: imagine a 'sombra' que o objeto lança no chão quando os raios de luz caem perpendicularmente ao solo (como o sol a pino ao meio-dia).

A posição do cubo

O texto informa que o cubo está apoiado por um único vértice, e que a diagonal principal (a reta que liga o vértice apoiado no chão ao vértice mais alto) é ortogonal ao plano da base. Consequência: ao olhar o cubo exatamente de cima, o vértice do topo e o vértice da base ficam alinhados no centro da vista.

O contorno da projeção

Um cubo tem 88 vértices. Com 11 no topo e 11 na base (ambos projetados no centro), sobram 66 vértices distribuídos simetricamente ao redor. As arestas que ligam esses vértices intermediários, vistas de cima, formam o contorno de um hexágono regular. Isso já elimina qualquer figura com contorno quadrado ou retangular.

As ligações internas

Do vértice do topo partem 33 arestas até três vértices do hexágono; do vértice da base, outras 33 arestas até os três vértices restantes. Projetadas no solo, essas 66 arestas viram segmentos radiais que saem do centro em direção às 66 pontas do hexágono — como os raios de uma roda dividida em 66 fatias.

O enunciado diz que o visitante também percorre as diagonais do cubo. Na projeção vista de cima, porém, essas diagonais passam pelo centro e se sobrepõem exatamente aos segmentos radiais que ligam o centro aos vértices. Ou seja, não surgem linhas novas nem cruzamentos fora do centro.

Conclusão

O resultado é um hexágono regular com 66 segmentos partindo do centro até os vértices, sem traços extras cruzando o interior. Comparando com as figuras apresentadas nas alternativas, essa é exatamente a imagem da alternativa E (hexágono com apenas os seis segmentos radiais). A figura da alternativa A mostra linhas internas adicionais que se cruzam fora do centro — o erro de quem supõe que as diagonais criam novos traços. Portanto, o gabarito é E.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2021 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.