Questão 168 do ENEM 2024 — Matemática

Entendendo o problema

O enunciado nos apresenta um modelo exponencial para a desvalorização de um carro, dado pela função: $V(n) = V_0 \cdot q^n$ Onde:

• $V(n)$ é o valor do carro após $n$ anos;
• $V_0$ é o valor inicial do carro;
• $q$ é o fator de desvalorização;
• $n$ é o tempo em anos.

Sabemos que o valor inicial do carro é $V_0 = 30\,000$. Além disso, temos os valores para os três primeiros anos:

• $V(1) = 27\,000$
• $V(2) = 24\,300$
• $V(3) = 21\,870$

O objetivo é encontrar o valor do carro ao final de seis anos, ou seja, $V(6)$, expresso em milhares de reais e com uma casa decimal.

Encontrando o fator de desvalorização

Para calcular $V(6)$, precisamos primeiro descobrir o valor do fator de desvalorização $q$. Podemos fazer isso substituindo os dados do primeiro ano na fórmula: $V(1) = V_0 \cdot q^1$ $27\,000 = 30\,000 \cdot q$

Isolando o $q$, temos: $q = \frac{27\,000}{30\,000} = \frac{27}{30} = 0,9$

Isso significa que, a cada ano, o carro passa a valer $90\%$ do que valia no ano anterior (ou seja, sofre uma desvalorização de $10\%$ ao ano).

Calculando o valor após seis anos

Agora que conhecemos $V_0$ e $q$, podemos calcular $V(6)$. Há duas maneiras práticas de fazer isso: aplicando a fórmula diretamente ou multiplicando o valor do terceiro ano sucessivamente por $0,9$.

Pela fórmula: $V(6) = 30\,000 \cdot (0,9)^6$ Como já sabemos que $(0,9)^3 = 0,729$ (pois $V(3) = 30\,000 \cdot 0,729 = 21\,870$), podemos reescrever $(0,9)^6$ como $((0,9)^3)^2$: $(0,9)^6 = (0,729)^2 = 0,531441$ Substituindo na equação: $V(6) = 30\,000 \cdot 0,531441 = 15\,943,23$

Por multiplicações sucessivas: Partindo do valor do terceiro ano ($V(3) = 21\,870$), basta multiplicar por $0,9$ mais três vezes:

• Ano 4: $V(4) = 21\,870 \cdot 0,9 = 19\,683$
• Ano 5: $V(5) = 19\,683 \cdot 0,9 = 17\,714,70$
• Ano 6: $V(6) = 17\,714,70 \cdot 0,9 = 15\,943,23$

Conclusão

O valor de mercado do carro ao final de seis anos será de \text{R}\ , 15,943,23$.

O comando da questão pede esse valor em milhar de real, com uma casa decimal. Para converter para milhares de reais, dividimos por $1\,000$: $\frac{15\,943,23}{1\,000} = 15,94323$

Arredondando para uma casa decimal, o valor que mais se aproxima é $15,9$.