Questão 17 do ENEM 2009 — Ciências da Natureza

Para resolvermos esse problema, precisamos garantir que o trem consiga fazer as curvas do trajeto sem que os passageiros sintam um "empurrão" lateral muito forte. Essa sensação ocorre devido à inércia, e a aceleração que atua para mudar a direção do trem, mantendo-o na curva, é a aceleração centrípeta.

O problema nos pede o raio mínimo da curva ($R$). Para encontrá-lo, usaremos a fórmula da aceleração centrípeta: $a_c = \frac{v^2}{R}$

Para usar essa equação, precisamos descobrir duas coisas: a velocidade do trem ($v$) e a aceleração lateral máxima permitida ($a_c$).

Calculando a velocidade do trem ($v$)

O enunciado nos diz que o trem percorre uma distância $\Delta S = 403 \text{ km}$ em um intervalo de tempo $\Delta t = 1 \text{ hora e } 25 \text{ minutos}$. Como a aceleração da gravidade foi dada em $\text{m/s}^2$, o ideal é trabalharmos com a velocidade em metros por segundo ($\text{m/s}$).

Primeiro, vamos converter a distância para metros: $\Delta S = 403 \text{ km} = 403.000 \text{ m}$

Agora, vamos converter o tempo total para segundos. Sabemos que $1 \text{ hora}$ tem $60 \text{ minutos}$, então o tempo total em minutos é: $\Delta t = 60 \text{ min} + 25 \text{ min} = 85 \text{ min}$

Como cada minuto tem $60 \text{ segundos}$, multiplicamos por $60$ para achar o tempo em segundos: $\Delta t = 85 \times 60 = 5.100 \text{ s}$

Agora podemos calcular a velocidade média (que o problema pede para considerarmos constante em todo o percurso): $v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{403.000}{5.100} \approx 79 \text{ m/s}$

Dica de prova: No ENEM, muitas vezes os números são pensados para aproximações inteligentes. Note que $79 \text{ m/s}$ é muito próximo de $80 \text{ m/s}$. Vamos usar $v \approx 80 \text{ m/s}$ para facilitar as contas, já que as alternativas estão bem espaçadas umas das outras.

Determinando a aceleração centrípeta ($a_c$)

O texto afirma que a aceleração lateral confortável e segura é de $0,1g$, onde $g = 10 \text{ m/s}^2$. Portanto, a aceleração centrípeta máxima será: $a_c = 0,1 \times 10 = 1 \text{ m/s}^2$

Encontrando o raio da curva ($R$)

Agora que temos a velocidade ($v \approx 80 \text{ m/s}$) e a aceleração centrípeta ($a_c = 1 \text{ m/s}^2$), basta substituir os valores na fórmula: $a_c = \frac{v^2}{R}$ $1 = \frac{80^2}{R}$ $1 = \frac{6.400}{R}$ $R = 6.400 \text{ m}$

Se tivéssemos usado o valor exato de $79 \text{ m/s}$, encontraríamos um raio de aproximadamente $6.241 \text{ m}$. Olhando para as alternativas, o valor aproximado que corresponde perfeitamente à nossa estimativa inteligente é $6.400 \text{ m}$.

Logo, a alternativa correta é a E.