Questão 173 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o Problema

O enunciado nos diz que o ciclo de atividade magnética do Sol dura $11$ anos. O primeiro ciclo começou no início de $1755$ e terminou no final de $1765$ (o que totaliza exatamente $11$ anos completos). Queremos descobrir em qual ciclo estaremos no ano de $2101$.

Equacionando os Ciclos

Podemos pensar nos ciclos usando a lógica de divisão ou de progressão aritmética. O ciclo $1$ começa no ano de $1755$. Como cada ciclo dura $11$ anos, o ciclo $2$ começará em $1755 + 11 = 1766$, o ciclo $3$ em $1755 + 2 \times 11 = 1777$, e assim por diante.

De forma geral, o início do ciclo $n$ se dá no ano: $I_n = 1755 + 11 \times (n - 1)$

Queremos encontrar o ciclo $n$ que contém o ano de $2101$. Para isso, vamos primeiro calcular quantos anos se passaram desde o início do primeiro ciclo até o ano de $2101$: $\Delta t = 2101 - 1755 = 346 \text{ anos}$

Calculando o Número do Ciclo

Agora, precisamos saber quantos ciclos completos de $11$ anos cabem dentro desses $346$ anos. Fazemos isso dividindo $346$ por $11$: $346 \div 11 = 31 \text{ com resto } 5$

Isso significa que, desde $1755$, já se passaram exatamente $31$ ciclos completos, e o ano de $2101$ representa o $5^\circ$ ano após o término desses ciclos. Se $31$ ciclos já foram concluídos, o ano de $2101$ só pode pertencer ao próximo ciclo, que é o de número: $31 + 1 = 32$

Para tirar a prova real, podemos calcular os anos de início e fim do ciclo $32$:

• Início do ciclo $32$: $1755 + 11 \times 31 = 1755 + 341 = 2096$
• Fim do ciclo $32$: $2096 + 10 = 2106$ (pois vai do início de $2096$ até o final de $2106$, englobando $11$ anos).

Como o ano de $2101$ está no intervalo entre $2096$ e $2106$, ele de fato pertence ao ciclo $32$.