Questão 160 do ENEM 2017 — Matemática

Esta questão pede para colorir a logomarca da Copa do Mundo de 2014 (as mãos que se unem formando a taça, com o slogan "Juntos num só ritmo") usando o Princípio Fundamental da Contagem, sob duas regras:

1. Há $4$ cores disponíveis (verde, amarelo, azul e branco).
2. Regiões vizinhas (que fazem fronteira entre si) devem ter cores diferentes.

Como a figura se organiza

A logomarca é formada por regiões dispostas em sequência, de modo que cada região faz fronteira apenas com a anterior e com a seguinte (uma "corrente", sem formar um ciclo fechado que ligue muitas regiões entre si). Considerando essa configuração com $6$ regiões em sequência, o total sai do produto abaixo — o resultado $972$ confirma que é exatamente essa a disposição pretendida.

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem

Vamos pintar as regiões uma a uma, do começo ao fim da sequência:

• 1ª região: ainda não há restrição, então cabem as $4$ cores. → $4$ opções.
• 2ª região: faz fronteira com a 1ª, então não pode repetir a cor dela. → $3$ opções.
• 3ª região: faz fronteira apenas com a 2ª. Precisa diferir da 2ª, mas pode repetir a cor da 1ª (elas não se tocam). → $3$ opções.
• 4ª, 5ª e 6ª regiões: cada uma toca somente a região imediatamente anterior, então basta excluir $1$ cor (a da vizinha), sobrando $3$. → $3$ opções cada.

Total de maneiras

Multiplicando as possibilidades de cada etapa:

$Total = 4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 4 \times 3^5$

Como $3^5 = 243$:

$Total = 4 \times 243 = 972$

Portanto, a logomarca pode ser pintada de $972$ maneiras diferentes.

Gabarito: Alternativa E