Questão 171 do ENEM 2013 (Matemática)

O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 2011. A partir de então, o pagamento mensal não poderá ser inferior a 15% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura. Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012, uma dívida de R\$ 1 000,00 na fatura de seu cartão de crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura. Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 29 fev. 2012.

Para resolver essa questão, precisamos entender a dinâmica da dívida do cartão de crédito descrita no problema. A partir de dezembro de 2011, a regra estabelece que o pagamento mínimo é de $20\%$ do valor da fatura. Além disso, sobre o saldo devedor (o valor que não foi pago), incidem juros de $10\%$ para a fatura do mês seguinte.

Podemos resolver a questão acompanhando a evolução da dívida mês a mês, a partir de março de 2012.

Evolução da Dívida

Em 01/03/2012: O consumidor possui uma fatura no valor de R$ 1.000,00. Como ele opta por pagar o mínimo, ele pagará $20\%$ desse valor: $P_1 = 0,20 \times 1.000,00 = 200,00$ O saldo devedor, que é o valor que restou sem pagar, será: $S_1 = 1.000,00 - 200,00 = 800,00$

Em 01/04/2012: A nova fatura será o saldo devedor do mês anterior acrescido dos juros de $10\%$ . Para calcular um aumento de $10\%$ , multiplicamos o valor por $1,10$ : $V_2 = 800,00 \times 1,10 = 880,00$ A dívida neste mês é de R$ 880,00. Novamente, ele paga o mínimo de $20\%$ : $P_2 = 0,20 \times 880,00 = 176,00$ O novo saldo devedor será: $S_2 = 880,00 - 176,00 = 704,00$

Em 01/05/2012: A fatura deste mês será o saldo devedor de abril acrescido dos juros de $10\%$ : $V_3 = 704,00 \times 1,10 = 774,40$

Portanto, a dívida do consumidor no dia 01/05/2012, antes de efetuar qualquer novo pagamento, será de R$ 774,40.

Método Alternativo (Fator de Multiplicação)

Podemos pensar de forma mais direta usando fatores de multiplicação. Se o consumidor paga $20\%$ da fatura, ele deixa de pagar $80\%$ (ou seja, o saldo devedor é a dívida multiplicada por $0,80$ ). No mês seguinte, esse valor sofre um aumento de $10\%$ (multiplica-se por $1,10$ ).

Assim, a cada mês, o valor da nova fatura é o valor da fatura anterior multiplicado por: $0,80 \times 1,10 = 0,88$

Aplicando esse fator sucessivamente a partir da dívida inicial de R$ 1.000,00:

Fatura em abril: $1.000,00 \times 0,88 = 880,00$
Fatura em maio: $880,00 \times 0,88 = 774,40$

Ambos os caminhos nos levam ao mesmo resultado, confirmando que a dívida será de R$ 774,40.

Questão 171 do ENEM 2013 — Matemática

Resolução comentada

Evolução da Dívida

Método Alternativo (Fator de Multiplicação)