Questão 145 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer repetidas vezes em um número fixo de tentativas. Esse é um caso clássico de Probabilidade Binomial.

Primeiro, vamos organizar as informações que o problema nos fornece:

• O número total de aparelhos vendidos (tentativas) é $n = 4$.
• Queremos que exatamente $k = 2$ aparelhos sejam defeituosos.
• A probabilidade de um aparelho ser defeituoso (vamos chamar de "sucesso" para o nosso cálculo) é $p = 0,2\%$.
• A probabilidade de um aparelho não ser defeituoso (o "fracasso") é o restante para completar $100\%$, ou seja, $q = 100\% - 0,2\% = 99,8\%$.

A fórmula da probabilidade binomial nos diz que a probabilidade de obtermos exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas é dada por: $P = C_{n,k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Onde $C_{n,k}$ é a combinação de $n$ elementos tomados $k$ a $k$. Mas por que precisamos dessa combinação? Imagine que os aparelhos defeituosos sejam representados por $D$ e os bons por $B$. O cliente pode levar os aparelhos nas seguintes ordens: $DDBB$, $DBDB$, $DBBD$, $BDDB$, $BDBD$ ou $BBDD$. A combinação serve justamente para calcular de quantas maneiras diferentes esses $2$ aparelhos defeituosos podem estar distribuídos entre os $4$ comprados.

Vamos calcular esse valor: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Isso significa que existem $6$ maneiras diferentes de o cliente sair com exatamente $2$ aparelhos defeituosos.

Agora, precisamos calcular a probabilidade de uma dessas sequências específicas ocorrer (por exemplo, os dois primeiros com defeito e os dois últimos bons). Como os eventos são independentes, multiplicamos as probabilidades individuais:

• Probabilidade de $2$ aparelhos defeituosos: $(0,2\%)^2$
• Probabilidade de $2$ aparelhos bons: $(99,8\%)^2$

Juntando tudo na nossa fórmula da probabilidade binomial, multiplicamos o número de combinações possíveis pela probabilidade de cada sequência: $P = 6 \cdot (0,2\%)^2 \cdot (99,8\%)^2$

Analisando as alternativas, vemos que essa expressão corresponde exatamente à alternativa C.