Questão 164 do ENEM 2021 — Matemática

O enunciado descreve o crescimento de uma população de microrganismos pela função exponencial $K(t) = 81 \cdot 3^{\frac{1}{3}t} + 2$, em que $K$ é a quantidade de microrganismos e $t$ é o tempo. O gráfico mostra a curva crescente dessa função.

No gráfico, há um ponto destacado sobre a curva: quando o tempo vale $t = m$, a quantidade atinge $K = 6\,563$. Ou seja, $K(m) = 6\,563$. Nosso objetivo é descobrir o valor de $m$.

Basta substituir esse ponto na expressão da função:

$6\,563 = 81 \cdot 3^{\frac{1}{3}m} + 2$

O primeiro passo é isolar a potência que contém a incógnita. Subtraindo $2$ dos dois lados:

$6\,561 = 81 \cdot 3^{\frac{1}{3}m}$

Agora dividimos ambos os lados por $81$:

$\frac{6\,561}{81} = 3^{\frac{1}{3}m}$

Como $81 \cdot 81 = 6\,561$, a divisão resulta em $81$:

$81 = 3^{\frac{1}{3}m}$

Para comparar os expoentes, precisamos deixar os dois lados com a mesma base. Fatorando o $81$ como potência de $3$:

$81 = 3^4$

Logo:

$3^4 = 3^{\frac{1}{3}m}$

Com as bases iguais, igualamos os expoentes:

$4 = \frac{1}{3}m$

Multiplicando os dois lados por $3$:

$m = 4 \cdot 3 = 12$

Portanto, o valor de $m$ é $12$, o que corresponde à alternativa D.