Questão 165 do ENEM 2012 — Matemática

Do que trata a questão

João anda sobre uma pirâmide de base quadrada, seguindo em linha reta pelos segmentos $A \to E \to M \to C$. Nessa figura, $A$, $B$, $C$ e $D$ são os vértices da base quadrada, $E$ é o vértice do topo (o ápice) e $M$ é um ponto sobre a aresta $BC$ da base. Bruno precisa desenhar a projeção desse trajeto sobre o plano da base, ou seja, como o caminho apareceria se olhássemos a pirâmide de cima para baixo.

O que significa projetar sobre a base

Projetar um ponto sobre a base é "deixá-lo cair" verticalmente até o chão. Vamos projetar ponto a ponto:

• $A$: já está na base, então sua projeção é o próprio $A$ (um canto do quadrado).
• $E$: o ápice fica bem acima do centro do quadrado. Logo, a projeção de $E$ é o ponto central da base, onde as diagonais $AC$ e $BD$ se cruzam.
• $M$: está sobre a aresta $BC$, que é uma aresta da própria base, então sua projeção é o próprio $M$.
• $C$: também é um vértice da base, então projeta em si mesmo.

Montando o trajeto projetado

Substituindo cada ponto por sua projeção, o caminho $A \to E \to M \to C$ vira:

$A \; \to \; \text{centro da base} \; \to \; M \; \to \; C$

Um detalhe importante: o centro do quadrado pertence à diagonal $AC$. Como a projeção de $E$ é exatamente esse centro, o trecho $A \to \text{centro}$ cai em cima da diagonal que liga $A$ a $C$. Em seguida o caminho segue até $M$ (na aresta $BC$) e termina em $C$.

Conclusão

O desenho que Bruno deve fazer é o que representa esse trajeto projetado, coerente com $A$ no canto, a passagem pelo centro sobre a diagonal $AC$ e a chegada em $C$. Esse é o desenho da alternativa C.