Questão 144 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir quantas respostas diferentes podem ser dadas na brincadeira e, em seguida, comparar esse valor com o número total de alunos participantes.

A brincadeira consiste em adivinhar três informações independentes para formar um palpite completo:

• Qual foi o objeto escondido;
• Qual personagem o escondeu;
• Em qual cômodo da casa.

Como temos escolhas sucessivas e independentes para formar uma resposta, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo). Esse princípio nos diz que o número total de combinações possíveis é o produto do número de opções disponíveis em cada etapa da escolha.

Vamos organizar as opções que temos para cada parte da resposta:

• Opções de objetos: $5$
• Opções de personagens: $6$
• Opções de cômodos: $9$

Multiplicando essas quantidades, encontramos o número total de respostas distintas possíveis: $\text{Total de respostas} = 5 \times 6 \times 9$ $\text{Total de respostas} = 30 \times 9$ $\text{Total de respostas} = 270$

Portanto, existem exatamente $270$ respostas diferentes que podem ser dadas no jogo.

O enunciado nos informa que a escola possui $280$ alunos participando e que cada aluno sorteado deve dar uma resposta distinta das anteriores. Como o número de alunos ($280$) é maior que o número de respostas possíveis ($270$), é matematicamente garantido que alguém acertará a resposta, pois todas as possibilidades serão esgotadas antes mesmo de todos os alunos participarem.

Para encontrar a relação exata pedida na questão, basta calcularmos a diferença entre o número de alunos e o número de respostas possíveis: $280 - 270 = 10$

Isso significa que há $10$ alunos a mais do que o número de possíveis respostas distintas. Essa conclusão corresponde perfeitamente à alternativa A.