Questão 159 do ENEM 2019 — Matemática

Essa questão trabalha com probabilidade de eventos independentes e, principalmente, com a ideia de evento complementar.

O problema informa que a probabilidade de um motorista perceber uma placa é $\frac{1}{2}$. Logo, a probabilidade de ele não perceber essa placa é:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Quando queremos a probabilidade de algo acontecer pelo menos uma vez (aqui, perceber pelo menos uma placa), é muito mais prático calcular a probabilidade de isso não acontecer nenhuma vez e subtrair do total (que é $1$, ou $100\%$).

Se forem instaladas $n$ placas, a probabilidade de o motorista não perceber nenhuma delas é o produto das probabilidades individuais, pois os eventos são independentes:

$P(\text{não perceber nenhuma}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Assim, a probabilidade de perceber pelo menos uma placa é o evento complementar:

$P(\text{pelo menos uma}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$

O dono do restaurante quer que essa probabilidade seja superior a $\frac{99}{100}$. Montamos a inequação:

$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}$

Isolando o termo com $n$:

$1 - \frac{99}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$

$\frac{1}{100} > \frac{1}{2^n}$

Como $100$ e $2^n$ são positivos, invertemos as frações (invertendo também o sinal da desigualdade):

$2^n > 100$

Agora buscamos o menor inteiro $n$ que satisfaz a condição. Lembrando as potências de $2$:

• $2^5 = 32$
• $2^6 = 64$
• $2^7 = 128$

Como $2^6 = 64$ não é maior que $100$, mas $2^7 = 128$ é, o número mínimo total de placas é $n = 7$.

Atenção ao comando! Ele pede a quantidade mínima de placas novas. Como já existe $1$ placa instalada, o dono precisará colocar:

$7 - 1 = 6 \text{ novas placas}$

Portanto, a quantidade mínima de novas placas é $6$, alternativa D.