Questão 139 do ENEM 2019 — Matemática

Para descobrir em qual loja a compra ficará mais barata, precisamos primeiro determinar a quantidade exata de material preto e branco que será utilizada.

Comprimento de cada faixa

O enunciado diz que as faixas devem ter o menor comprimento possível para revestir integralmente as pilastras cilíndricas. Isso significa que o comprimento de cada faixa corresponde exatamente ao perímetro (ou circunferência) da base da pilastra.

A fórmula da circunferência é dada por: $C = 2 \cdot \pi \cdot r$

Substituindo os valores fornecidos ($r = 10 \text{ cm}$ e $\pi = 3$): $C = 2 \cdot 3 \cdot 10 = 60 \text{ cm}$

Como os comprimentos nas lojas são vendidos em metros, vamos converter esse valor: $60 \text{ cm} = 0,6 \text{ m}$

Quantidade total de faixas por cor

O salão possui $5$ pilastras. Cada pilastra precisa de $6$ faixas pretas e $5$ faixas brancas. Vamos calcular o total de faixas de cada cor:

• Faixas pretas: $5 \text{ pilastras} \cdot 6 \text{ faixas/pilastra} = 30 \text{ faixas}$
• Faixas brancas: $5 \text{ pilastras} \cdot 5 \text{ faixas/pilastra} = 25 \text{ faixas}$

Agora, multiplicamos a quantidade de faixas pelo comprimento de cada uma para achar a metragem total necessária de cada cor:

• Metragem de fita preta: $30 \cdot 0,6 \text{ m} = 18 \text{ m}$
• Metragem de fita branca: $25 \cdot 0,6 \text{ m} = 15 \text{ m}$

Analisando as opções de compra

Um detalhe fundamental da questão é que as lojas vendem as faixas nas cores desejadas, mas só vendem peças inteiras. Isso significa que não podemos somar as metragens ($18 + 15 = 33 \text{ m}$) e comprar tudo junto; precisamos comprar peças inteiras de fita preta para cobrir os $18 \text{ m}$ e peças inteiras de fita branca para cobrir os $15 \text{ m}$.

Vamos calcular o custo em cada loja, lembrando sempre de arredondar a quantidade de peças para cima (pois não podemos comprar meia peça):

Loja I (Peças de $3 \text{ m}$ a \text{R}\ 11,00)

• Pretas: $18 \text{ m} / 3 \text{ m} = 6 \text{ peças}$
• Brancas: $15 \text{ m} / 3 \text{ m} = 5 \text{ peças}$
• Total de peças: $6 + 5 = 11 \text{ peças}$
• Custo: 11 \cdot 11,00 = \text{R}\ 121,00$

Loja II (Peças de $7 \text{ m}$ a \text{R}\ 19,00)

• Pretas: $18 \text{ m} / 7 \text{ m} \approx 2,57 \rightarrow$ precisamos de $3 \text{ peças}$
• Brancas: $15 \text{ m} / 7 \text{ m} \approx 2,14 \rightarrow$ precisamos de $3 \text{ peças}$
• Total de peças: $3 + 3 = 6 \text{ peças}$
• Custo: 6 \cdot 19,00 = \text{R}\ 114,00$

Loja III (Peças de $10 \text{ m}$ a \text{R}\ 33,00)

• Pretas: $18 \text{ m} / 10 \text{ m} = 1,8 \rightarrow$ precisamos de $2 \text{ peças}$
• Brancas: $15 \text{ m} / 10 \text{ m} = 1,5 \rightarrow$ precisamos de $2 \text{ peças}$
• Total de peças: $2 + 2 = 4 \text{ peças}$
• Custo: 4 \cdot 33,00 = \text{R}\ 132,00$

Loja IV (Peças de $14 \text{ m}$ a \text{R}\ 37,00)

• Pretas: $18 \text{ m} / 14 \text{ m} \approx 1,28 \rightarrow$ precisamos de $2 \text{ peças}$
• Brancas: $15 \text{ m} / 14 \text{ m} \approx 1,07 \rightarrow$ precisamos de $2 \text{ peças}$
• Total de peças: $2 + 2 = 4 \text{ peças}$
• Custo: 4 \cdot 37,00 = \text{R}\ 148,00$

Loja V (Peças de $22 \text{ m}$ a \text{R}\ 61,00)

• Pretas: $18 \text{ m} / 22 \text{ m} \approx 0,81 \rightarrow$ precisamos de $1 \text{ peça}$
• Brancas: $15 \text{ m} / 22 \text{ m} \approx 0,68 \rightarrow$ precisamos de $1 \text{ peça}$
• Total de peças: $1 + 1 = 2 \text{ peças}$
• Custo: 2 \cdot 61,00 = \text{R}\ 122,00$

Comparando todos os valores, a opção mais barata é a Loja II, com o custo total de R$ 114,00.