Questão 164 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver esse problema de forma elegante e direta, podemos usar o conceito de vetores para representar os deslocamentos do barco.

Entendendo os deslocamentos

Vamos chamar a posição inicial do barco de ponto $P$. O movimento do barco pode ser dividido em duas rotas: a planejada e a executada.

Rota Planejada (para chegar a $R$):

1. Deslocamento de $P$ para $Q$: 4 horas na direção 110°.
2. Deslocamento de $Q$ para $R$: 2 horas na direção 90°.

Podemos escrever a posição final $R$ como a soma desses vetores de deslocamento: $R = P + \vec{PQ} + \vec{QR}$

Rota Executada (chegando a $T$):

1. Deslocamento de $P$ para $S$: 4 horas na direção 340°.
2. Deslocamento de $S$ para $T$: 2 horas na direção 90°.

A posição final $T$ é: $T = P + \vec{PS} + \vec{ST}$

A grande sacada: Note que o segundo trecho de ambas as rotas é exatamente o mesmo (navegar por 2 horas na direção 90°). Isso significa que os vetores $\vec{QR}$ e $\vec{ST}$ são idênticos!

O dono da embarcação está no ponto $T$ e quer ir para o ponto $R$. O vetor que representa esse deslocamento é $\vec{TR}$, que pode ser calculado fazendo a posição final menos a inicial: $\vec{TR} = R - T$

Substituindo as equações das rotas: $\vec{TR} = (P + \vec{PQ} + \vec{QR}) - (P + \vec{PS} + \vec{ST})$

Como $P$ cancela com $P$, e $\vec{QR}$ cancela com $\vec{ST}$ (pois são iguais), sobra apenas: $\vec{TR} = \vec{PQ} - \vec{PS}$

Pela regra da subtração de vetores, $\vec{PQ} - \vec{PS}$ é exatamente o vetor $\vec{SQ}$ (o deslocamento que vai de $S$ para $Q$).

Conclusão: Para ir de $T$ até $R$, o barco precisa fazer exatamente o mesmo deslocamento que faria se fosse de $S$ para $Q$. Nosso problema agora se resume a descobrir a distância e a direção de $S$ para $Q$.

Calculando o tempo de navegação (distância $SQ$)

Vamos analisar o triângulo formado pelos pontos $P$, $S$ e $Q$.

• O lado $PS$ corresponde a 4 horas de navegação.
• O lado $PQ$ também corresponde a 4 horas de navegação.
• Como os dois lados são iguais, o triângulo $PSQ$ é isósceles.

Qual é o ângulo entre as direções de $P$ para $S$ (340°) e de $P$ para $Q$ (110°)?

• A direção 340° está 20° "antes" do Norte (360°).
• A direção 110° está 110° "depois" do Norte.
• O ângulo total no vértice $P$ é a soma dessas diferenças: $20^\circ + 110^\circ = 130^\circ$.

Agora, aplicamos a Lei dos Cossenos no triângulo $PSQ$ para encontrar o lado $SQ$ (que representará o tempo de navegação): $SQ^2 = PS^2 + PQ^2 - 2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos(130^\circ)$

Sabemos que $\cos(130^\circ) = -\cos(180^\circ - 130^\circ) = -\cos(50^\circ)$. O enunciado nos diz para usar $\cos(50^\circ) \approx 0,64$, então $\cos(130^\circ) \approx -0,64$.

Substituindo os valores (usando as horas como medida de distância, já que a velocidade é constante): $SQ^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-0,64)$ $SQ^2 = 16 + 16 + 32 \cdot 0,64$ $SQ^2 = 32 + 20,48$ $SQ^2 = 52,48$

Precisamos encontrar a raiz quadrada de $52,48$. Sabemos que $7^2 = 49$ e $8^2 = 64$, então o valor está entre 7 e 8. Testando um valor intermediário, como $7,25$, temos $7,25^2 \approx 52,56$, que é muito próximo.

Portanto, o tempo de navegação é de aproximadamente 7,25 horas. Convertendo a parte decimal para minutos: $0,25 \text{ horas} = \frac{1}{4} \text{ de hora} = 15 \text{ minutos}$. O tempo total é 7 horas e 15 minutos.

Encontrando a direção

Já sabemos que o triângulo $PSQ$ é isósceles com ângulo do vértice $P$ igual a $130^\circ$. A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, então os ângulos da base (nos vértices $S$ e $Q$) são iguais a: $\frac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ$

Imagine-se no ponto $S$. Se você olhar para o ponto $P$, estará olhando na direção oposta à que o barco fez para chegar ali. Como a direção de $P$ para $S$ foi $340^\circ$, a direção de $S$ para $P$ é $340^\circ - 180^\circ = 160^\circ$.

O ângulo interno do triângulo no vértice $S$ é $25^\circ$. Isso significa que, a partir da linha de visão para $P$ (direção $160^\circ$), você precisa girar $25^\circ$ para olhar para $Q$. Como $Q$ está mais a Leste (à esquerda da linha $SP$ no mapa), subtraímos esse ângulo na bússola: $\text{Direção} = 160^\circ - 25^\circ = 135^\circ$

(Dica: a direção 135° corresponde exatamente ao Sudeste, o que faz todo o sentido visualizando a figura).

Assim, a direção é 135 e o tempo é 7 horas e 15 minutos.