Questão 171 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolvermos essa questão, o primeiro passo é entender qual é a área máxima que o dono da loja pode pagar por cada cartão.

Sabemos que ele está disposto a pagar, no máximo, R$ 0,80 por cartão e que o custo de fabricação é de R$ 0,01 por centímetro quadrado ($\text{cm}^2$). Podemos descobrir a área máxima permitida dividindo o valor total pelo custo por centímetro quadrado:

$A_{\text{máx}} = \frac{0,80}{0,01} = 80 \text{ cm}^2$

Isso significa que qualquer modelo de cartão que tenha uma área superior a $80 \text{ cm}^2$ deve ser descartado, pois ultrapassará o orçamento. O objetivo é escolher, entre as opções que respeitam esse limite, aquela que possui a maior área.

Agora, vamos calcular a área de cada um dos modelos oferecidos, utilizando as aproximações fornecidas no enunciado ($\pi \approx 3$ e $\sqrt{3} \approx 1,7$):

1. Triângulo Equilátero

A fórmula da área de um triângulo equilátero de lado $l$ é $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Como o lado é $12 \text{ cm}$:

$A_{\text{triângulo}} = \frac{12^2 \cdot 1,7}{4} = \frac{144 \cdot 1,7}{4} = 36 \cdot 1,7 = 61,2 \text{ cm}^2$

2. Quadrado

A área de um quadrado de lado $l$ é $A = l^2$. Com lado de $8 \text{ cm}$:

$A_{\text{quadrado}} = 8^2 = 64 \text{ cm}^2$

3. Retângulo

A área de um retângulo é o produto de sua base pela sua altura ($A = b \cdot h$). Com lados de $11 \text{ cm}$ e $8 \text{ cm}$:

$A_{\text{retângulo}} = 11 \cdot 8 = 88 \text{ cm}^2$

4. Hexágono Regular

Um hexágono regular é composto por $6$ triângulos equiláteros. Assim, sua área é $A = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Com lado de $6 \text{ cm}$:

$A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \frac{6^2 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot \frac{36 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot 9 \cdot 1,7 = 54 \cdot 1,7 = 91,8 \text{ cm}^2$

5. Círculo

A área de um círculo é dada por $A = \pi \cdot r^2$. O enunciado nos dá o diâmetro de $10 \text{ cm}$, o que significa que o raio $r$ é a metade disso, ou seja, $5 \text{ cm}$.

$A_{\text{círculo}} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \text{ cm}^2$

Conclusão

Agora, vamos analisar os resultados obtidos:

• Triângulo: $61,2 \text{ cm}^2$ (Dentro do orçamento)
• Quadrado: $64 \text{ cm}^2$ (Dentro do orçamento)
• Retângulo: $88 \text{ cm}^2$ (Fora do orçamento)
• Hexágono: $91,8 \text{ cm}^2$ (Fora do orçamento)
• Círculo: $75 \text{ cm}^2$ (Dentro do orçamento)

Os modelos de retângulo e hexágono foram eliminados porque suas áreas ultrapassam o limite de $80 \text{ cm}^2$. Entre as opções que cabem no orçamento (triângulo, quadrado e círculo), a que oferece a maior área de impressão é o círculo, com $75 \text{ cm}^2$.

Portanto, o modelo escolhido deve ser o círculo.