Questão 113 do ENEM 2019 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos analisar a componente circular do movimento helicoidal descrito pelo íon. Esse movimento ocorre porque a partícula carregada se move em uma região de campo magnético, sofrendo a ação de uma força magnética perpendicular à sua velocidade no plano $yz$.

Força Magnética e Movimento Circular

Quando uma carga elétrica $q$ se move com uma velocidade $v$ perpendicular a um campo magnético uniforme $B$, a força magnética atua como uma força centrípeta, fazendo com que a partícula descreva um movimento circular uniforme (MCU).

Podemos igualar a força magnética ($F_{mag}$) à força centrípeta ($F_{cp}$): $F_{mag} = F_{cp}$ $q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{R}$

Simplificando a velocidade $v$ em ambos os lados, podemos isolar a massa $m$ do íon: $m = \frac{q \cdot B \cdot R}{v}$

Relacionando com o Tempo de Voo

Sabemos que, no movimento circular, a velocidade escalar $v$ está relacionada ao raio $R$ e ao período $T$ (o tempo necessário para completar exatamente uma volta) pela equação: $v = \frac{2\pi R}{T}$

Podemos rearranjar essa equação para encontrar a relação $\frac{R}{v}$: $\frac{R}{v} = \frac{T}{2\pi}$

Substituindo essa relação na equação da massa que encontramos anteriormente, temos: $m = q \cdot B \cdot \left( \frac{T}{2\pi} \right)$ $m = \frac{q \cdot B \cdot T}{2\pi}$

O Tempo Total e o Número de Voltas

O enunciado nos diz que o dispositivo mede um tempo total $t$ para que o íon complete $N$ voltas. O período $T$, que é o tempo de apenas uma volta, pode ser calculado dividindo o tempo total pelo número de voltas: $T = \frac{t}{N}$

Por fim, substituímos essa expressão do período $T$ na equação da massa: $m = \frac{q \cdot B \cdot \left( \frac{t}{N} \right)}{2\pi}$ $m = \frac{q \cdot B \cdot t}{2\pi N}$

Assim, chegamos à expressão que determina a massa do íon medida pelo espectrômetro, correspondendo à alternativa correta.