Questão 136 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar a escala utilizada pelo professor ao representar o percurso do atleta na lousa. A escala é uma razão matemática que relaciona a medida de um objeto ou percurso em um desenho com a sua medida real, devendo ambas estar na mesma unidade de comprimento.

Primeiro, vamos calcular a distância real percorrida pelo atleta americano Dean Karnazes. O enunciado nos diz que o maratonista original correu $42 \text{ km}$ e que Dean conseguiu correr dez vezes mais. Portanto, a distância real ($D$) é:

$D = 10 \times 42 \text{ km} = 420 \text{ km}$

O professor representou essa distância na lousa com um segmento de reta de $60 \text{ cm}$. Essa é a nossa distância no desenho ($d$).

Para calcular a escala, precisamos que a distância real e a distância no desenho estejam na mesma unidade de medida. Como a medida do desenho está em centímetros, vamos converter a distância real de quilômetros para centímetros.

Lembre-se das relações de conversão:

• $1 \text{ km} = 1.000 \text{ m}$
• $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$

Logo, para transformar quilômetros em centímetros, multiplicamos por $100.000$ (ou seja, acrescentamos cinco zeros):

$1 \text{ km} = 100.000 \text{ cm}$

Aplicando isso à nossa distância real:

$D = 420 \times 100.000 \text{ cm} = 42.000.000 \text{ cm}$

Agora que temos ambas as medidas em centímetros, podemos calcular a escala. A escala ($E$) é dada pela razão entre a distância no desenho ($d$) e a distância real ($D$):

$E = \frac{d}{D}$

Substituindo os valores que encontramos:

$E = \frac{60}{42.000.000}$

Para simplificar essa fração e deixá-la no formato padrão de escala ($1 : x$), dividimos o numerador e o denominador por $60$:

$E = \frac{60 \div 60}{42.000.000 \div 60}$

$E = \frac{1}{700.000}$

Isso significa que cada $1 \text{ cm}$ no desenho do professor representa $700.000 \text{ cm}$ na realidade. Portanto, a escala utilizada é de $1 : 700.000$.

Analisando as alternativas, a resposta correta é a Alternativa D.