Questão 172 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender como o sistema de coordenadas foi posicionado em relação ao cenário descrito. O enunciado nos diz que a origem do plano cartesiano, o ponto $A = (0,0)$, está no topo do poste esquerdo. O eixo $x$ passa pelo topo dos dois postes, ligando os pontos $A$ e $B$.

Como os postes têm $6\text{ m}$ de altura e estão apoiados em um solo horizontal, isso significa que o solo está $6\text{ m}$ abaixo do eixo $x$. Em termos de coordenadas, o solo pode ser representado pela reta $y = -6$.

O fio elétrico forma uma curva (uma parábola) modelada pela função quadrática: $y = 0,02x^2 - 0,16x$

A menor distância do fio até o solo ocorrerá no ponto mais baixo dessa curva. Em uma parábola com a concavidade voltada para cima (já que o coeficiente de $x^2$ é positivo, $a = 0,02$), o ponto mais baixo é o seu vértice.

Vamos calcular as coordenadas do vértice. A coordenada $x$ do vértice ($x_v$) é dada pela fórmula: $x_v = -\frac{b}{2a}$

Substituindo os valores da nossa função ($a = 0,02$ e $b = -0,16$): $x_v = -\frac{-0,16}{2 \cdot 0,02} = \frac{0,16}{0,04} = 4$

Isso significa que o ponto mais baixo do fio ocorre exatamente no meio da distância entre os dois postes (o que faz sentido, dada a simetria da parábola). Agora, precisamos encontrar a coordenada $y$ do vértice ($y_v$), que nos dirá o quão abaixo do eixo $x$ o fio desce. Para isso, basta substituir $x = 4$ na função da parábola: $y_v = 0,02(4)^2 - 0,16(4)$ $y_v = 0,02(16) - 0,64$ $y_v = 0,32 - 0,64$ $y_v = -0,32$

O valor $y_v = -0,32\text{ m}$ indica que o ponto mais baixo do fio está $0,32\text{ m}$ abaixo da linha reta que liga o topo dos postes (o eixo $x$).

Por fim, para encontrar a distância desse ponto até o solo, devemos subtrair essa "barriga" do fio da altura total dos postes. Como os postes têm $6\text{ m}$ de altura: $\text{Distância até o solo} = 6 - 0,32 = 5,68\text{ m}$

Portanto, a menor distância da parte do fio até o solo é de $5,68\text{ m}$.