Questão 142 do ENEM 2020 — Matemática

ENEM 2020Matemática1ª aplicação

O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

Nome Idade (em ano)
Orlando 89
Gustavo 86
Luana 86
Teresa 85
Márcia 84
Roberto 82
Heloisa 75
Marisa 75
Pedro 75
João 75
Antônio 72
Fernanda 70
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
A
\( \frac{1}{12} \)
B
\[ \frac{7}{12} \]
C
\( \frac{1}{8} \)
D
\( \frac{5}{6} \)
\( \frac{1}{4} \)
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos organizar a fila de restituição seguindo as regras do enunciado: a ordem principal é decrescente de idade (dos mais velhos para os mais novos) e, em caso de empate, a posição é definida por sorteio. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de João ocupar exatamente a 7a7^{\text{a}} posição nessa fila.

Organizando a fila por idade

Primeiro, vamos listar as pessoas que têm idade maior que a de João, que tem 7575 anos. Essas pessoas, obrigatoriamente, receberão a restituição antes dele. Observando a tabela, temos:

  • Orlando: 8989 anos
  • Gustavo: 8686 anos
  • Luana: 8686 anos
  • Teresa: 8585 anos
  • Márcia: 8484 anos
  • Roberto: 8282 anos

Contando essas pessoas, percebemos que há exatamente 66 idosos mais velhos que João. Independentemente da ordem em que Gustavo e Luana sejam sorteados entre si (já que possuem a mesma idade), esse grupo de 66 pessoas ocupará as 66 primeiras posições da fila.

A posição de João

Como as 66 primeiras posições já estão garantidas para os mais velhos, a 7a7^{\text{a}} posição será ocupada por alguém do próximo grupo de idade, que é justamente o grupo das pessoas com 7575 anos.

Vamos verificar quem faz parte desse subgrupo:

  • Heloisa (7575 anos)
  • Marisa (7575 anos)
  • Pedro (7575 anos)
  • João (7575 anos)

Temos um total de 44 pessoas empatadas com 7575 anos. O enunciado afirma que a ordem dentro desse subgrupo será decidida por sorteio.

Para que João seja a 7a7^{\text{a}} pessoa da fila geral, ele precisa ser o primeiro a ser sorteado dentro do seu subgrupo de 44 pessoas.

Calculando a probabilidade

A probabilidade (PP) de um evento ocorrer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis:

P=Casos FavoraˊveisCasos PossıˊveisP = \frac{\text{Casos Favoráveis}}{\text{Casos Possíveis}}

Neste sorteio específico:

  • Casos favoráveis: 11 (queremos que João seja o sorteado).
  • Casos possíveis: 44 (qualquer uma das 44 pessoas de 7575 anos pode ser sorteada para essa posição).

Substituindo na fórmula, temos:

P=14P = \frac{1}{4}

Portanto, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é de 14\frac{1}{4}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2020 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.