Questão 162 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a equação fornecida e identificar qual figura geométrica ela representa no plano cartesiano.

A equação dada pelo fisiologista é: $(p + a)(v + b) = K$

Onde $p$ e $v$ são as variáveis (peso e velocidade, respectivamente), e $a$, $b$ e $K$ são constantes, com $K > 0$. O problema nos pede para classificar a curva formada por essa relação no plano cartesiano de coordenadas $(p, v)$.

Para facilitar a visualização, vamos isolar a variável $v$ (que faria o papel do $y$ no plano cartesiano tradicional, enquanto $p$ faria o papel do $x$): $v + b = \frac{K}{p + a}$ $v = \frac{K}{p + a} - b$

Na matemática, uma equação do tipo $y = \frac{k}{x}$ (ou $x \cdot y = k$), onde $k$ é uma constante não nula, é a representação clássica de uma hipérbole equilátera.

Quando adicionamos constantes às variáveis, como em $(x - x_0)(y - y_0) = k$, estamos apenas fazendo uma translação (um deslocamento) dessa hipérbole no plano cartesiano. O centro da hipérbole deixa de ser a origem $(0,0)$ e passa a ser o ponto $(x_0, y_0)$. No nosso caso, a equação $(p + a)(v + b) = K$ representa uma hipérbole deslocada, cujo centro está no ponto $(-a, -b)$.

Como estamos lidando com um contexto físico e biológico, as variáveis $p$ (peso) e $v$ (velocidade) assumem apenas valores positivos (ou não negativos). Isso significa que não teremos o desenho completo da hipérbole com seus dois lados (ou ramos), mas apenas a parte da curva que faz sentido para o problema, ou seja, um ramo de hipérbole.

Portanto, a representação geométrica da dependência entre $v$ e $p$ é um ramo de hipérbole.